Class 11 Chemistry Chapter 2 – NCERT Solutions (Structure of Atom) | परमाणु की संरचना (हिंदी माध्यम)

दिया है:
👉 1 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान (m_e) = 9.11 × 10⁻³¹ kg = 9.11 × 10⁻²⁸ g

(i) 1 g में इलेक्ट्रॉनों की संख्या
सूत्र: इलेक्ट्रॉनों की संख्या = (कुल द्रव्यमान) / (1 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान)

N = 1 g / (9.11 × 10⁻²⁸ g) ≈ 1.10 × 10²⁷ इलेक्ट्रॉन


(ii) 1 मोल इलेक्ट्रॉनों का द्रव्यमान और आवेश

(A) 1 मोल इलेक्ट्रॉनों का द्रव्यमान
दिया है:
👉 N_A (अवोगाद्रो संख्या) = 6.022 × 10²³ mol⁻¹
👉 1 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान = 9.11 × 10⁻³¹ kg

1 मोल इलेक्ट्रॉनों का द्रव्यमान = (1 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान) × (N_A)
= 9.11 × 10⁻³¹ kg × 6.022 × 10²³
≈ 5.49 × 10⁻⁷ kg
= 5.49 × 10⁻⁴ g

(B) 1 मोल इलेक्ट्रॉनों का आवेश
दिया है:
👉 1 इलेक्ट्रॉन का आवेश (e) = 1.602 × 10⁻¹⁹ C
👉 1 मोल इलेक्ट्रॉन = N_A इलेक्ट्रॉन

कुल आवेश = −e × N_A
= −(1.602 × 10⁻¹⁹) × (6.022 × 10²³)
≈ −9.65 × 10⁴ C
≈ −96485 C

(i) 1 मोल CH₄ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या
👉 C में इलेक्ट्रॉन = 6
👉 H में इलेक्ट्रॉन = 1, और 4 H हैं ⇒ 4 × 1 = 4
⇒ 1 अणु CH₄ में कुल इलेक्ट्रॉन = 6 + 4 = 10

अब 1 मोल CH₄ में अणु = N_A = 6.022 × 10²³
⇒ कुल इलेक्ट्रॉन = 10 × N_A
= 10 × 6.022 × 10²³ = 6.022 × 10²⁴
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(ii) 7 mg ¹⁴C में न्यूट्रॉन (संख्या और द्रव्यमान)

Step 1: ¹⁴C के 1 परमाणु में न्यूट्रॉन
¹⁴C का परमाणु क्रमांक (Z) = 6
न्यूट्रॉन = A − Z = 14 − 6 = 8

Step 2: 7 mg ¹⁴C में परमाणुओं की संख्या
¹⁴C का द्रव्यमान = 7 mg = 0.007 g
¹⁴C का मोलर द्रव्यमान = 14 g mol⁻¹
मोल = द्रव्यमान ÷ मोलर द्रव्यमान
मोल = 0.007 / 14 = 5.0 × 10⁻⁴ mol

परमाणु = (5.0 × 10⁻⁴) × (6.022 × 10²³)
= 3.011 × 10²⁰ परमाणु

Step 3: कुल न्यूट्रॉन
1 परमाणु में न्यूट्रॉन = 8
कुल न्यूट्रॉन = 8 × 3.011 × 10²⁰
= 2.4088 × 10²¹

Step 4: न्यूट्रॉनों का कुल द्रव्यमान
1 न्यूट्रॉन का द्रव्यमान = 1.675 × 10⁻²⁷ kg
कुल द्रव्यमान = (2.4088 × 10²¹) × (1.675 × 10⁻²⁷)
= 4.03474 × 10⁻⁶ kg
= 4.03 × 10⁻³ g ≈ 4.03 mg
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(iii) 34 mg NH₃ में प्रोटॉन (संख्या और द्रव्यमान)

Step 1: 1 अणु NH₃ में प्रोटॉन
N का परमाणु क्रमांक = 7 ⇒ 7 प्रोटॉन
H का परमाणु क्रमांक = 1 और 3 H हैं ⇒ 3 प्रोटॉन
⇒ कुल प्रोटॉन/अणु = 7 + 3 = 10

Step 2: 34 mg NH₃ में अणुओं की संख्या
NH₃ का द्रव्यमान = 34 mg = 0.034 g
NH₃ का मोलर द्रव्यमान = 17 g mol⁻¹
मोल = द्रव्यमान ÷ मोलर द्रव्यमान
मोल = 0.034 / 17 = 2.0 × 10⁻³ mol

अणु = (2.0 × 10⁻³) × (6.022 × 10²³)
= 1.2044 × 10²¹ अणु

Step 3: कुल प्रोटॉन
कुल प्रोटॉन = 10 × 1.2044 × 10²¹
= 1.2044 × 10²²

Step 4: प्रोटॉनों का कुल द्रव्यमान
(मानक मान) 1 प्रोटॉन का द्रव्यमान ≈ 1.673 × 10⁻²⁷ kg
कुल द्रव्यमान = (1.2044 × 10²²) × (1.673 × 10⁻²⁷)
≈ 2.015 × 10⁻⁵ kg
= 2.015 × 10⁻² g ≈ 20.15 mg

दाब और ताप में परिवर्तन से क्या उत्तर बदलेगा?
यहाँ नमूना 34 mg (द्रव्यमान) दिया है, इसलिए मोल और कणों की संख्या वही रहेगी।
✅ इसलिए प्रोटॉनों की संख्या और द्रव्यमान नहीं बदलेगा।

नियम:
👉 परमाणु क्रमांक (Z) = प्रोटॉन की संख्या
👉 द्रव्यमान संख्या (A) = प्रोटॉन + न्यूट्रॉन
👉 इसलिए न्यूट्रॉन की संख्या = A − Z

नाभिक	द्रव्यमान संख्या (A)	परमाणु क्रमांक (Z)	प्रोटॉन (Z)	न्यूट्रॉन (A − Z)	गणना
⁸⁸Sr₃₈	88	38	38	50	88 − 38 = 50
⁵⁶Fe₂₆	56	26	26	30	56 − 26 = 30
²⁴Mg₁₂	24	12	12	12	24 − 12 = 12
¹⁶O₈	16	8	8	8	16 − 8 = 8
¹³C₆	13	6	6	7	13 − 6 = 7

पूर्ण प्रतीक लिखने का नियम:
परमाणु का पूर्ण प्रतीक = ^A Z_A

जहाँ
👉 A = द्रव्यमान संख्या
👉 Z = परमाणु क्रमांक
👉 X = तत्व का प्रतीक

(i) Z = 17, A = 35
Z = 17 वाला तत्व = Cl (क्लोरीन)
तो पूर्ण प्रतीक = ³⁵Cl₁₇


(ii) Z = 92, A = 233
Z = 92 वाला तत्व = U (यूरेनियम)
तो पूर्ण प्रतीक = ²³³U₉₂


(iii) Z = 4, A = 9
Z = 4 वाला तत्व = Be (बेरिलियम)
तो पूर्ण प्रतीक = ⁹Be₄

दिया है:
λ = 580 nm = 580 × 10⁻⁹ m
प्रकाश का वेग (c) = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹

(1) आवृत्ति (ν)
सूत्र: ν = c / λ

ν = (3.0 × 10⁸) / (580 × 10⁻⁹)
ν = (3.0/580) × 10¹⁷
ν ≈ 0.00517 × 10¹⁷
ν = 5.17 × 10¹⁴ s⁻¹

✅ इसलिए आवृत्ति (ν) = 5.17 × 10¹⁴ s⁻¹


(2) तरंग संख्या (ν̄)
तरंग संख्या का सूत्र: ν̄ = 1 / λ

ν̄ = 1 / (580 × 10⁻⁹) m⁻¹
ν̄ = (1/580) × 10⁹ m⁻¹
ν̄ ≈ 0.001724 × 10⁹ m⁻¹
ν̄ = 1.72 × 10⁶ m⁻¹

✅ इसलिए तरंग संख्या (ν̄) = 1.72 × 10⁶ m⁻¹

स्थिरांक (Constants):
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹


(i) जब आवृत्ति (ν) दी हो
सूत्र: E = hν
ν = 3 × 10¹⁵ s⁻¹

E = (6.626 × 10⁻³⁴) × (3 × 10¹⁵)
E = 19.878 × 10⁻¹⁹ J
E = 1.9878 × 10⁻¹⁸ J
E ≈ 1.99 × 10⁻¹⁸ J

✅ इसलिए ऊर्जा = 1.99 × 10⁻¹⁸ J (लगभग)


(ii) जब तरंगदैर्घ्य (λ) दी हो
सूत्र: E = hc/λ

पहले λ को मीटर (m) में बदलें:
1 Å = 10⁻¹⁰ m
λ = 0.50 Å = 0.50 × 10⁻¹⁰ m = 5.0 × 10⁻¹¹ m

अब ऊर्जा:
E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (5.0 × 10⁻¹¹)
E = (19.878 × 10⁻²⁶) / (5.0 × 10⁻¹¹)
E = 3.9756 × 10⁻¹⁵ J
E ≈ 3.98 × 10⁻¹⁵ J

✅ इसलिए ऊर्जा = 3.98 × 10⁻¹⁵ J (लगभग)

दिया है:
आवर्तकाल (T) = 2.0 × 10⁻¹⁰ s
प्रकाश का वेग (c) = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹

(1) आवृत्ति (ν)
सूत्र: ν = 1/T

ν = 1 / (2.0 × 10⁻¹⁰)
ν = (1/2.0) × 10¹⁰
ν = 0.5 × 10¹⁰
ν = 5.0 × 10⁹ s⁻¹
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(2) तरंगदैर्घ्य (λ)
सूत्र: λ = c/ν

λ = (3.0 × 10⁸) / (5.0 × 10⁹)
λ = (3.0/5.0) × 10⁻¹
λ = 0.6 × 10⁻¹
λ = 6.0 × 10⁻² m
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(3) तरंग संख्या (ν̄)
सूत्र: ν̄ = 1/λ

ν̄ = 1 / (6.0 × 10⁻²)
ν̄ = (1/6.0) × 10²
ν̄ = 0.1667 × 10²
ν̄ = 16.67 m⁻¹

दिया है:
👉 तरंगदैर्घ्य (λ) = 4000 pm
👉 प्रकाश का वेग (c) = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
👉 प्लैंक स्थिरांक (h) = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 कुल ऊर्जा = 1 J

Step 1: λ को मीटर (m) में बदलें
1 pm = 10⁻¹² m
λ = 4000 × 10⁻¹² m = 4.0 × 10⁻⁹ m
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Step 2: आवृत्ति (ν) निकालें
सूत्र: ν = c/λ

ν = (3.0 × 10⁸) / (4.0 × 10⁻⁹)
ν = (3.0/4.0) × 10¹⁷
ν = 0.75 × 10¹⁷
ν = 7.5 × 10¹⁶ s⁻¹
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Step 3: 1 फोटॉन की ऊर्जा (E) निकालें
सूत्र: E = hν

E = (6.626 × 10⁻³⁴) × (7.5 × 10¹⁶) J
E = 49.695 × 10⁻¹⁸ J
E = 4.97 × 10⁻¹⁷ J (प्रति फोटॉन)
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Step 4: 1 J ऊर्जा के लिए फोटॉनों की संख्या (N)
सूत्र: N = (कुल ऊर्जा) / (1 फोटॉन की ऊर्जा)

N = 1 / (4.97 × 10⁻¹⁷)
N ≈ 2.01 × 10¹⁶

✅ इसलिए फोटॉनों की संख्या ≈ 2.01 × 10¹⁶

दिया है:
👉 λ = 4 × 10⁻⁷ m, c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 कार्यफलन (W) = 2.13 eV
👉 1 eV = 1.6020 × 10⁻¹⁹ J
👉 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान (m) = 9.109 × 10⁻³¹ kg


Step 1: आवृत्ति (ν) निकालें
सूत्र: ν = c/λ

ν = (3.0 × 10⁸) / (4 × 10⁻⁷)
ν = (3.0/4) × 10¹⁵
ν = 7.5 × 10¹⁴ s⁻¹


Step 2: फोटॉन की ऊर्जा (J में), फिर eV में
सूत्र: E = hν

E = (6.626 × 10⁻³⁴) × (7.5 × 10¹⁴)
E = 49.695 × 10⁻²⁰ J
E = 4.97 × 10⁻¹⁹ J

अब ऊर्जा को eV में बदलें:
E(eV) = E(J) / (1.6020 × 10⁻¹⁹)
E(eV) = (4.97 × 10⁻¹⁹) / (1.6020 × 10⁻¹⁹)
E(eV) = 4.97/1.6020 = 3.10 eV

✅ इसलिए फोटॉन की ऊर्जा = 3.10 eV


Step 3: उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (KE)
आइंस्टीन का समीकरण:
फोटॉन ऊर्जा (E) = कार्यफलन (W) + गतिज ऊर्जा (KE)

KE = E − W
KE = 3.10 eV − 2.13 eV = 0.97 eV

KE को J में:
KE(J) = 0.97 × (1.6020 × 10⁻¹⁹)
KE(J) = 1.56 × 10⁻¹⁹ J

✅ इसलिए KE = 0.97 eV (या 1.56 × 10⁻¹⁹ J)


Step 4: प्रकाशीय इलेक्ट्रॉन का वेग (v)
सूत्र: KE = (1/2)mv²
इसलिए v = √(2KE/m)

v = √( (2 × 1.56 × 10⁻¹⁹) / (9.109 × 10⁻³¹) )
v = √(3.12/9.109 × 10¹²)
v = √(0.3426 × 10¹²)
v = √(3.426 × 10¹¹)
v = 5.85 × 10⁵ m s⁻¹

✅ इसलिए प्रकाशीय इलेक्ट्रॉन का वेग = 5.85 × 10⁵ m s⁻¹

दिया है:
👉 λ = 242 nm = 242 × 10⁻⁹ m
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
👉 N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹
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Step 1: 1 फोटॉन (या 1 परमाणु) के लिए ऊर्जा
सूत्र: E = hc/λ

E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (242 × 10⁻⁹)
E = (19.878 × 10⁻²⁶) / (242 × 10⁻⁹)
E = (19.878/242) × 10⁻¹⁷
E = 0.08214 × 10⁻¹⁷
E = 8.214 × 10⁻¹⁹ J (प्रति परमाणु)
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Step 2: 1 मोल के लिए आयनन ऊर्जा
1 मोल में परमाणु = N_A

आयनन ऊर्जा (J mol⁻¹)
= (8.214 × 10⁻¹⁹) × (6.022 × 10²³)
= (8.214 × 6.022) × 10⁴
= 49.46 × 10⁴ J mol⁻¹
= 4.946 × 10⁵ J mol⁻¹

अब kJ mol⁻¹ में:
4.946 × 10⁵ J mol⁻¹ = 494.6 kJ mol⁻¹

✅ इसलिए सोडियम की आयनन ऊर्जा = 494.6 kJ mol⁻¹ (लगभग)

दिया है:
👉 शक्ति (P) = 25 W = 25 J s⁻¹
👉 तरंगदैर्घ्य (λ) = 0.57 µm = 0.57 × 10⁻⁶ m
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
Step 1: 1 फोटॉन की ऊर्जा (E)
सूत्र: E = hc/λ

E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (0.57 × 10⁻⁶)
E = (19.878 × 10⁻²⁶) / (0.57 × 10⁻⁶)
E = (19.878/0.57) × 10⁻²⁰
E = 34.87 × 10⁻²⁰ J
E = 3.49 × 10⁻¹⁹ J (प्रति फोटॉन)


Step 2: प्रति सेकण्ड फोटॉनों की संख्या (N)
शक्ति (P) = प्रति सेकण्ड ऊर्जा
इसलिए N = P/E

N = 25 / (3.49 × 10⁻¹⁹)
N = (25/3.49) × 10¹⁹
N ≈ 7.17 × 10¹⁹ s⁻¹

✅ इसलिए, प्रति सेकण्ड उत्सर्जित फोटॉन ≈ 7.17 × 10¹⁹ s⁻¹

दिया है:
λ₀ = 6800 Å
1 Å = 10⁻¹⁰ m
λ₀ = 6800 × 10⁻¹⁰ m = 6.8 × 10⁻⁷ m
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J

👉 यहाँ “शून्य वेग” का मतलब है देहली (threshold) स्थिति, इसलिए यही λ₀ देहली तरंगदैर्घ्य है।
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(1) देहली आवृत्ति (ν₀)
सूत्र: ν₀ = c / λ₀

ν₀ = (3.0 × 10⁸) / (6.8 × 10⁻⁷)
ν₀ = (3.0/6.8) × 10¹⁵
ν₀ = 0.441 × 10¹⁵
ν₀ = 4.41 × 10¹⁴ s⁻¹
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(2) कार्यफलन (W₀)
देहली पर: W₀ = hν₀

W₀ = (6.626 × 10⁻³⁴) × (4.41 × 10¹⁴) J
W₀ = (6.626 × 4.41) × 10⁻²⁰ J
W₀ = 29.22 × 10⁻²⁰ J
W₀ = 2.92 × 10⁻¹⁹ J

अब eV में बदलें:
W₀(eV) = W₀(J) / (1.602 × 10⁻¹⁹)
W₀(eV) = (2.92 × 10⁻¹⁹) / (1.602 × 10⁻¹⁹)
W₀(eV) = 2.92/1.602 = 1.82 eV

✅ इसलिए W₀ = 2.92 × 10⁻¹⁹ J ≈ 1.82 eV

हाइड्रोजन के nवें कक्ष की ऊर्जा:
E_n = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / n² J atom⁻¹

दिया है:
👉 n₁ = 4, n₂ = 2
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
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Step 1: E₂ और E₄ निकालें

E₂ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / (2²)
E₂ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / 4
E₂ = −5.445 × 10⁻¹⁹ J atom⁻¹

E₄ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / (4²)
E₄ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / 16
E₄ = −1.361 × 10⁻¹⁹ J atom⁻¹
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Step 2: ऊर्जा अंतर (ΔE)
उत्सर्जित ऊर्जा = |E₂ − E₄|

ΔE = |(−5.445 × 10⁻¹⁹) − (−1.361 × 10⁻¹⁹)|
ΔE = |−4.084 × 10⁻¹⁹|
ΔE = 4.08 × 10⁻¹⁹ J atom⁻¹

(यह उसी के बराबर है: 2.178 × 10⁻¹⁸ × (1/4 − 1/16) = 2.178 × 10⁻¹⁸ × (3/16))
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Step 3: तरंगदैर्घ्य (λ)
ΔE = hc/λ ⇒ λ = hc/ΔE

λ = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (4.08 × 10⁻¹⁹)
λ = (19.878 × 10⁻²⁶) / (4.08 × 10⁻¹⁹)
λ = (19.878/4.08) × 10⁻⁷
λ = 4.87 × 10⁻⁷ m

nm में:
4.87 × 10⁻⁷ m = 4.87 × 10² nm = 487 nm

✅ इसलिए उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य = 4.87 × 10⁻⁷ m = 487 nm

हाइड्रोजन के nवें कक्षक की ऊर्जा:
E_n = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / n² J atom⁻¹

आयनन का अर्थ: इलेक्ट्रॉन को n कक्षक से निकालकर n = ∞ पर ले जाना।
n = ∞ पर ऊर्जा: E_∞ = 0 J atom⁻¹
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(1) n = 5 से आयनन के लिए ऊर्जा

E₅ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / 5²
E₅ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / 25
E₅ = −8.712 × 10⁻²⁰ J atom⁻¹

आयनन ऊर्जा (ΔE) = E_∞ − E₅
ΔE = 0 − (−8.712 × 10⁻²⁰)
ΔE = 8.712 × 10⁻²⁰ J atom⁻¹
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(2) हाइड्रोजन की आयनन एन्थैल्पी (n = 1 से)

E₁ = −(2.178 × 10⁻¹⁸) / 1²
E₁ = −2.178 × 10⁻¹⁸ J atom⁻¹

आयनन एन्थैल्पी (ΔE') = E_∞ − E₁
ΔE' = 0 − (−2.178 × 10⁻¹⁸)
ΔE' = 2.178 × 10⁻¹⁸ J atom⁻¹
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(3) तुलना
तुलना = ΔE' / ΔE

ΔE' / ΔE = (2.178 × 10⁻¹⁸) / (8.712 × 10⁻²⁰)
= (2.178/8.712) × 10²
= 0.25 × 10²
= 25

✅ इसलिए n = 1 से आयनन एन्थैल्पी, n = 5 से आयनन ऊर्जा की 25 गुना है।

Concept:
यदि इलेक्ट्रॉन n = 6 से नीचे जाते हुए अलग-अलग ऊर्जा स्तरों के बीच हर संभव संक्रमण करे, तो जितने अलग-अलग संक्रमण होंगे, उतनी ही अधिकतम रेखाएँ बनेंगी।


सूत्र (Maximum number of spectral lines):
n स्तर से अधिकतम रेखाएँ = n(n − 1)/2

यहाँ n = 6
रेखाओं की संख्या = (6 × (6 − 1)) / 2
रेखाओं की संख्या = (6 × 5) / 2
रेखाओं की संख्या = 30 / 2
रेखाओं की संख्या = 15

✅ इसलिए अधिकतम रेखाएँ = 15

Why 15 lines?
n = 6 से इलेक्ट्रॉन ऐसे संक्रमण कर सकता है:

👉 6 → 5, 6 → 4, 6 → 3, 6 → 2, 6 → 1 (5 रेखाएँ)
👉 5 → 4, 5 → 3, 5 → 2, 5 → 1 (4 रेखाएँ)
👉 4 → 3, 4 → 2, 4 → 1 (3 रेखाएँ)
👉 3 → 2, 3 → 1 (2 रेखाएँ)
👉 2 → 1 (1 रेखा)

कुल = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 रेखाएँ

(i) पाँचवें कक्षक की ऊर्जा

सूत्र:
E_n = E₁ / n²

दिया है:
E₁ = −2.18 × 10⁻¹⁸ J atom⁻¹
n = 5

E₅ = (−2.18 × 10⁻¹⁸) / 5²
E₅ = (−2.18 × 10⁻¹⁸) / 25
E₅ = −8.72 × 10⁻²⁰ J atom⁻¹
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(ii) पाँचवें बोर कक्षक की त्रिज्या

सूत्र (बोर त्रिज्या):
r_n = 0.529 × n² Å

दिया है:
n = 5

r₅ = 0.529 × 5² Å
r₅ = 0.529 × 25 Å
r₅ = 13.225 Å

अब nm में बदलें:
1 Å = 0.1 nm
13.225 Å = 13.225 × 0.1 nm
13.225 Å = 1.3225 nm

✅ इसलिए r₅ = 13.225 Å = 1.3225 nm

बामर श्रेणी (Balmer series) में:
अंतिम कक्षक n₁ = 2 होता है, और इलेक्ट्रॉन n₂ = 3, 4, 5… से n = 2 पर आता है।

अधिकतम तरंगदैर्घ्य का मतलब:
ऊर्जा अंतर सबसे कम होगा, इसलिए n₂ का सबसे छोटा मान लिया जाता है।
इसलिए संक्रमण: n₂ = 3 → n₁ = 2
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Step 1: राइडबर्ग सूत्र (तरंग-संख्या के लिए)
ṽ = R ( 1/n₁² − 1/n₂² )

दिया है:
R = 1.09679 × 10⁷ m⁻¹
n₁ = 2, n₂ = 3
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Step 2: मान रखकर गणना
ṽ = 1.09679 × 10⁷ ( 1/2² − 1/3² )
ṽ = 1.09679 × 10⁷ ( 1/4 − 1/9 )
ṽ = 1.09679 × 10⁷ ( (9 − 4)/36 )
ṽ = 1.09679 × 10⁷ ( 5/36 )
ṽ = 1.09679 × 10⁷ × 0.1389
ṽ ≈ 1.525 × 10⁶ m⁻¹

✅ इसलिए तरंग-संख्या (ṽ) ≈ 1.525 × 10⁶ m⁻¹

Step 1: हाइड्रोजन के nवें कक्ष की ऊर्जा का सूत्र
E_n = −(2.18 × 10⁻¹⁸) / n² J atom⁻¹

दिया है:
इलेक्ट्रॉन की तलस्थ अवस्था ऊर्जा = −2.18 × 10⁻¹¹ erg
1 erg = 10⁻⁷ J
इसलिए E₁ = −2.18 × 10⁻¹¹ × 10⁻⁷ J = −2.18 × 10⁻¹⁸ J atom⁻¹
________________________________________

Step 2: पाँचवीं कक्षा की ऊर्जा (E₅)
E₅ = −(2.18 × 10⁻¹⁸) / 5²
E₅ = −(2.18 × 10⁻¹⁸) / 25
E₅ = −8.72 × 10⁻²⁰ J atom⁻¹
________________________________________

Step 3: 1 से 5 तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा (ΔE)
ΔE = E₅ − E₁
ΔE = (−8.72 × 10⁻²⁰) − (−2.18 × 10⁻¹⁸)
ΔE = 2.18 × 10⁻¹⁸ − 8.72 × 10⁻²⁰
ΔE = 2.091 × 10⁻¹⁸ J (प्रति परमाणु)
________________________________________

Step 4: वापस लौटने पर उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य (λ)
वापस n = 5 → n = 1 आने पर उतनी ही ऊर्जा का फोटॉन उत्सर्जित होगा।

सूत्र:
ΔE = (h c) / λ ⇒ λ = (h c) / ΔE

मान:
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
ΔE = 2.091 × 10⁻¹⁸ J

λ = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (2.091 × 10⁻¹⁸)
λ = 9.51 × 10⁻⁸ m

Å में:
1 Å = 10⁻¹⁰ m
9.51 × 10⁻⁸ m = 9.51 × 10² Å = 951 Å

✅ इसलिए उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्घ्य = 9.51 × 10⁻⁸ m = 951 Å

Step 1: n = 2 कक्षा की ऊर्जा (E₂)
E_n = (−2.18 × 10⁻¹⁸)/n² J atom⁻¹
n = 2 रखने पर:
E₂ = (−2.18 × 10⁻¹⁸)/2²
E₂ = (−2.18 × 10⁻¹⁸)/4
E₂ = −5.45 × 10⁻¹⁹ J atom⁻¹
________________________________________

Step 2: आयनन के लिए आवश्यक ऊर्जा (ΔE)
पूरी तरह निकालना मतलब n = ∞ तक ले जाना, जहाँ E_∞ = 0
ΔE = E_∞ − E₂
ΔE = 0 − (−5.45 × 10⁻¹⁹)
ΔE = 5.45 × 10⁻¹⁹ J atom⁻¹
________________________________________

Step 3: सबसे लम्बी तरंगदैर्घ्य (λ_max)
आयनन के लिए कम से कम इतनी ऊर्जा चाहिए, इसलिए सबसे लम्बी तरंगदैर्घ्य वही होगी जिसकी ऊर्जा = ΔE

सूत्र:
ΔE = (h c) / λ ⇒ λ = (h c) / ΔE

मान:
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
ΔE = 5.45 × 10⁻¹⁹ J

λ = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (5.45 × 10⁻¹⁹)
λ = 3.647 × 10⁻⁷ m

अब cm में:
1 m = 100 cm
λ = 3.647 × 10⁻⁷ m × 100 = 3.647 × 10⁻⁵ cm
________________________________________

✅ इसलिए सबसे लम्बी तरंगदैर्घ्य (λ_max) = 3.647 × 10⁻⁵ cm

सूत्र (de Broglie):
किसी कण का तरंगदैर्घ्य, λ = h/(m v)

दिया है:
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 m (इलेक्ट्रॉन) = 9.109 × 10⁻³¹ kg
👉 v = 2.05 × 10⁷ m s⁻¹

मान रखेंगे:
λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / ((9.109 × 10⁻³¹) × (2.05 × 10⁷))
λ = 3.55 × 10⁻¹¹ m

Unit conversion:
👉 3.55 × 10⁻¹¹ m = 0.0355 nm
👉 = 35.5 pm
👉 = 0.355 Å

Step 1: पहले वेग (v) निकालते हैं
गतिज ऊर्जा का सूत्र:
गतिज ऊर्जा = (1/2) m v²

दिया है:
👉 m = 9.1 × 10⁻³¹ kg
👉 गतिज ऊर्जा = 3.0 × 10⁻²⁵ J

v = √(2 × 3.0 × 10⁻²⁵ / 9.1 × 10⁻³¹)
v = 8.12 × 10² m s⁻¹

Step 2: अब de Broglie तरंगदैर्घ्य (λ) निकालते हैं
सूत्र: λ = h/(m v)
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s

λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / ((9.1 × 10⁻³¹) × (8.12 × 10²))
λ = 8.97 × 10⁻⁷ m

Step 3: यूनिट बदलना
👉 1 Å = 10⁻¹⁰ m
⇒ λ = 8.97 × 10⁻⁷ m = 8.97 × 10³ Å = 8967 Å

👉 1 nm = 10⁻⁹ m
⇒ λ = 8.97 × 10⁻⁷ m = 897 nm

नियम
👉 धनायन (positive ion) में इलेक्ट्रॉन घटते हैं
👉 ऋणायन (negative ion) में इलेक्ट्रॉन बढ़ते हैं
👉 कुल इलेक्ट्रॉन = परमाणु क्रमांक (Z) ± आवेश

अब एक-एक करके
👉 Na (Z = 11) ⇒ Na⁺ में इलेक्ट्रॉन = 11 − 1 = 10
👉 Mg (Z = 12) ⇒ Mg²⁺ में इलेक्ट्रॉन = 12 − 2 = 10

👉 K (Z = 19) ⇒ K⁺ में इलेक्ट्रॉन = 19 − 1 = 18
👉 Ca (Z = 20) ⇒ Ca²⁺ में इलेक्ट्रॉन = 20 − 2 = 18
👉 S (Z = 16) ⇒ S²⁻ में इलेक्ट्रॉन = 16 + 2 = 18
👉 Ar (Z = 18) ⇒ इलेक्ट्रॉन = 18

✅ इसलिए 10 इलेक्ट्रॉन वाली स्पीशीज एक समूह में, और 18 इलेक्ट्रॉन वाली स्पीशीज दूसरे समूह में सम-आयनी हैं।

(i) आयनों का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास कैसे लिखें?
✅ नियम:
👉 परमाणु में इलेक्ट्रॉन = परमाणु संख्या (Z)
👉 ऋणायन (−) बनने पर इलेक्ट्रॉन जुड़ते हैं
👉 धनायन (+) बनने पर इलेक्ट्रॉन घटते हैं

उदाहरण:
👉 Na का Z = 11, तो Na में 11 e⁻
👉 Na⁺ बनने पर 1 e⁻ निकल गया ⇒ 10 e⁻
✅ इसलिए Na⁺ का विन्यास Ne जैसा हो जाता है: 1s² 2s² 2p⁶

(ii) बाह्यतम इलेक्ट्रॉन से Z कैसे पहचानें?
👉 3s¹ का मतलब: तीसरा आवर्त + s में 1 इलेक्ट्रॉन ⇒ Na
👉 2p³ का मतलब: दूसरा आवर्त + p में 3 इलेक्ट्रॉन ⇒ N
👉 3p⁵ का मतलब: तीसरा आवर्त + p में 5 इलेक्ट्रॉन ⇒ Cl

(iii) शॉर्ट-हैंड (Noble gas) विन्यास से पहचान
👉 [He] = 2 इलेक्ट्रॉन, + 2s¹ ⇒ कुल 3 ⇒ Li
👉 [Ne] = 10 इलेक्ट्रॉन, + (3s² 3p³ = 5) ⇒ कुल 15 ⇒ P
👉 [Ar] = 18 इलेक्ट्रॉन, + (4s² 3d¹ = 3) ⇒ कुल 21 ⇒ Sc

Step 1: g-कक्षक किससे पहचाना जाता है?
कक्षक (subshell) को आजिमुथल क्वांटम संख्या (l) से पहचाना जाता है:
👉 s ⇒ l = 0
👉 p ⇒ l = 1
👉 d ⇒ l = 2
👉 f ⇒ l = 3
👉 g ⇒ l = 4

Step 2: g-कक्षक कब संभव होगा?
नियम: किसी भी n के लिए l के मान होते हैं:
✅ l = 0 से (n − 1) तक

g-कक्षक के लिए l = 4 चाहिए, इसलिए:
\[ (n-1)\ge 4 \] \[ n\ge 5 \] ✅ इसलिए g-कक्षक पहली बार n = 5 पर संभव होता है।

---

Step 3: g-कक्षक में कितने ऑर्बिटल होंगे?
किसी भी subshell में ऑर्बिटल की संख्या:
\[ \text{ऑर्बिटल} = (2l+1) \] g के लिए l = 4:
\[ \text{ऑर्बिटल} = 2(4)+1=9 \] और हर ऑर्बिटल में 2 इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं, इसलिए अधिकतम इलेक्ट्रॉन:
\[ \text{अधिकतम इलेक्ट्रॉन} = 9\times 2 = 18 \]

Step 1: मुख्य क्वांटम संख्या (n) निकालना
कक्षक दिया है 3d
➡️ यहाँ 3 ही मुख्य क्वांटम संख्या बताता है।
✅ इसलिए n = 3

Step 2: कक्षीय/ऑर्बिटल क्वांटम संख्या (l) निकालना
Subshell के अनुसार l का मान तय होता है:
👉 s ⇒ l = 0
👉 p ⇒ l = 1
👉 d ⇒ l = 2
👉 f ⇒ l = 3
क्योंकि कक्षक d है,
✅ इसलिए l = 2

Step 3: चुंबकीय क्वांटम संख्या (m_l) निकालना
नियम:
✅ m_l = −l से +l तक सभी पूर्णांक मान लेता है।
यहाँ l = 2, इसलिए:
\( m_l = -2,\,-1,\,0,\,+1,\,+2 \) ✅ अतः m_l = −2, −1, 0, +1, +2

Step 1: प्रोटॉनों की संख्या निकालना
नियम: उदासीन परमाणु (neutral atom) में
✅ इलेक्ट्रॉन संख्या = प्रोटॉन संख्या

दिया है: इलेक्ट्रॉन = 29
➡️ इसलिए प्रोटॉन = 29
✅ प्रोटॉनों की संख्या = 29

---

Step 2: इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिखना
क्योंकि परमाणु क्रमांक (Z) = प्रोटॉन संख्या = 29
➡️ Z = 29 वाले तत्व का इलेक्ट्रॉनिक विन्यास:

✅ 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p⁶ 3d¹⁰ 4s¹
संक्षिप्त रूप: ✅ [Ar] 3d¹⁰ 4s¹

ऊर्जास्तर (Shell-wise) वितरण:
K = 2, L = 8, M = 18, N = 1
✅ 2, 8, 18, 1

Rule (नियम)
👉 उदासीन (neutral) में: कुल इलेक्ट्रॉन = कुल परमाणु क्रमांक (Z) का योग
👉 धनायन (+) में: इलेक्ट्रॉन 1 कम (जितना + charge)

(i) H₂⁺
Hydrogen का Z = 1
H₂ में इलेक्ट्रॉन = 2 × 1 = 2
लेकिन H₂⁺ में +1 charge है ⇒ 1 इलेक्ट्रॉन कम
✅ 2 − 1 = 1

---

(ii) H₂
Hydrogen का Z = 1
✅ इलेक्ट्रॉन = 2 × 1 = 2

---

(iii) O₂⁺
Oxygen का Z = 8
O₂ में इलेक्ट्रॉन = 2 × 8 = 16
लेकिन O₂⁺ में +1 charge ⇒ 1 इलेक्ट्रॉन कम
✅ 16 − 1 = 15

(i) n = 3 के लिए l और m_l
Step 1: कक्षीय/ऑर्बिटल क्वांटम संख्या (l)
नियम: ✅ l = 0 से (n − 1) तक होता है
यहाँ n = 3, इसलिए:
✅ l = 0, 1, 2

Step 2: चुंबकीय क्वांटम संख्या (m_l)
नियम: ✅ m_l = −l से +l तक सभी पूर्णांक मान लेता है

इसलिए:
👉 l = 0 ⇒ m_l = 0
👉 l = 1 ⇒ m_l = −1, 0, +1
👉 l = 2 ⇒ m_l = −2, −1, 0, +1, +2

---

(ii) 3d कक्षक के लिए m_l और m_s
3d में “3” से n = 3 मिलता है और “d” से l = 2
👉 d के लिए ✅ l = 2
इसलिए चुंबकीय क्वांटम संख्या:
✅ m_l = −2 से +2 (यानि −2, −1, 0, +1, +2)

और स्पिन के लिए हमेशा:
✅ m_s = +1/2 या −1/2

---

(iii) कौन-कौन से कक्षक संभव हैं?
नियम: ✅ किसी भी n के लिए l की अधिकतम मान (n − 1) होती है। यानी l का मान n से कम होना चाहिए।

उपकोश की अवधारणा:
👉 s → l = 0
👉 p → l = 1
👉 d → l = 2
👉 f → l = 3

अब जाँच:
👉 1p: n = 1 के लिए l सिर्फ 0 हो सकता है, लेकिन p के लिए l = 1 चाहिए
❌ इसलिए 1p असंभव

👉 2s: n = 2, s के लिए l = 0 (allowed)
✅ इसलिए 2s संभव

👉 2p: n = 2, p के लिए l = 1 (allowed क्योंकि n − 1 = 1)
✅ इसलिए 2p संभव

👉 3f: f के लिए l = 3 चाहिए, लेकिन n = 3 के लिए max l = 2
❌ इसलिए 3f असंभव

Step 1: l से subshell पहचानते हैं
👉 l = 0 → s
👉 l = 1 → p
👉 l = 2 → d
👉 l = 3 → f

Step 2: कक्षक संकेतन लिखते हैं
नियम: ✅ कक्षक का संकेतन = nl (जैसे 2p, 3d)

अब एक-एक करके:
👉 (क) n = 1, l = 0 ⇒ 1s
👉 (ख) n = 3, l = 1 ⇒ 3p
👉 (ग) n = 4, l = 2 ⇒ 4d
👉 (घ) n = 4, l = 3 ⇒ 4f

Step 1: Rules (नियम)
✅ n = 1, 2, 3, … (0 या negative नहीं)
✅ l = 0 से (n − 1) तक
✅ m_l = −l से +l तक (पूर्णांक)
✅ m_s = +½ या −½

---

(क) n = 0, l = 0, m_l = 0, m_s = +½
यहाँ n = 0 दिया है, जबकि n कभी 0 नहीं होता।
❌ इसलिए असंभव

---

(ख) n = 1, l = 0, m_l = 0, m_s = −½
n = 1 के लिए l केवल 0 हो सकता है ✅
m_l = 0 सही ✅
m_s = −½ सही ✅
✅ इसलिए संभव

---

(ग) n = 1, l = 1, m_l = 0, m_s = +½
n = 1 के लिए l की max value (n − 1) = 0 होती है, लेकिन यहाँ l = 1 दिया है।
❌ इसलिए असंभव

---

(घ) n = 2, l = 1, m_l = 0, m_s = −½
n = 2 के लिए l = 0 या 1 हो सकता है ✅
l = 1 ठीक ✅
m_l = 0 (−1 से +1 के बीच) ✅
m_s = −½ ✅
✅ इसलिए संभव

---

(ङ) n = 3, l = 3, m_l = −3, m_s = +½
n = 3 के लिए l की max value (n − 1) = 2 होती है, लेकिन यहाँ l = 3 दिया है।
❌ इसलिए असंभव
(m_l = −3 तभी possible होता जब l = 3 valid होता)

---

(च) n = 3, l = 1, m_l = 0, m_s = +½
n = 3 के लिए l = 0, 1, 2 possible ✅
l = 1 ठीक ✅
m_l = 0 (−1 से +1 के बीच) ✅
m_s = +½ ✅
✅ इसलिए संभव

(क) n = 4, m_s = −½
Step 1: n = 4 कक्षक (shell) की अधिकतम इलेक्ट्रॉन की संख्या
नियम:
✅ किसी भी कोश में अधिकतम इलेक्ट्रॉन = 2n²
2n² = 2 × (4)² = 2 × 16 = 32

अर्थात n = 4 कोश में कुल 32 इलेक्ट्रॉन आ सकते हैं।
Step 2: m_s के अनुसार किसी भी कक्षक में इलेक्ट्रॉन के लिए:
✅ m_s = +1/2 या m_s = −1/2
कुल 32 इलेक्ट्रॉनों में:
👉 आधे इलेक्ट्रॉन का m_s = +1/2 होगा
👉 शेष आधे का m_s = −1/2 होगा
📌 m_s = −1/2 वाले इलेक्ट्रॉन = 32/2 = 16

✅ इसलिए n = 4 और m_s = −½ वाले इलेक्ट्रॉन = 16

---

(ख) n = 3, l = 0
Step 1: l = 0 का अर्थ
l = 0 ⇒ s-कक्षक (s-orbital)
इसलिए यह 3s कक्षक होगा।
Step 2: m_l और m_s के मान
s के लिए:
✅ m_l = 0 (केवल एक ही मान)
और स्पिन के लिए:
✅ m_s = +1/2 तथा −1/2
इसलिए 3s कक्षक में इलेक्ट्रॉन होंगे:
m_l = 0, m_s = +1/2 या −1/2

✅ अतः कुल 2 इलेक्ट्रॉन संभव हैं।

Step 1: नील्स बोहर के सिद्धान्त के अनुसार
बोहर का कोणीय संवेग (Angular momentum) quantization नियम:
mvr = (nh)/(2π)
जहाँ
👉 m = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान
👉 v = वेग
👉 r = कक्षा की त्रिज्या
👉 n = 1,2,3,…
👉 h = प्लैंक स्थिरांक

---

Step 2: लुई डी-ब्रॉग्ली समीकरण
डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य:
λ = h/(mv)

---

Step 3: बोहर वाले समीकरण से:
mvr = (nh)/(2π)
2πr = (nh)/(mv)

अब h/(mv) = λ रख दें:
2πr = nλ

✅ इसलिए सिद्ध हुआ कि कक्षा की परिधि (2πr) = nλ, यानी परिधि तरंगदैर्घ्य का पूर्ण गुणक होती है।

Step 1: Rydberg (Wave number) का सूत्र
\( \bar{\nu}=RZ^2\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) \)
जहाँ \(n_2>n_1\)

---

Step 2: He⁺ के लिए Z = 2

He⁺ में \(Z=2\)

\( \bar{\nu}=R(2)^2\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) =4R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) \)

दिया है: \(n_2=4,\; n_1=2\)

\( \bar{\nu}=4R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{4^2}\right) =4R\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}\right) =4R\left(\frac{3}{16}\right) =\frac{3}{4}R \)

---

Step 3: H (Hydrogen) में समान तरंगदैर्घ्य के लिए

समान तरंगदैर्घ्य ⇒ समान \(\bar{\nu}\)

Hydrogen के लिए \(Z=1\)

\( \bar{\nu}=R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) \)

इसे \(\frac{3}{4}R\) के बराबर रखेंगे:

\( R\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)=\frac{3}{4}R \Rightarrow \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)=\frac{3}{4} \)

अब \(n_1=1\) लेने पर:

\( 1-\frac{1}{n_2^2}=\frac{3}{4} \Rightarrow \frac{1}{n_2^2}=\frac{1}{4} \Rightarrow n_2=2 \)

✅ इसलिए H में संक्रमण होगा: \(n = 2 \rightarrow n = 1\)

Step 1: हाइड्रोजन-like species का नियम
He⁺ एक हाइड्रोजन जैसा (एक-इलेक्ट्रॉन) आयन है।
ऐसे आयनों के लिए आयनन ऊर्जा ∝ Z² होती है।
यानी,
E(He⁺) = E(H) × Z²

---

Step 2: मान रखकर गणना
हाइड्रोजन (Z = 1) की आयनन ऊर्जा:
E(H) = 2.18 × 10⁻¹⁸ J atom⁻¹
He⁺ के लिए Z = 2
तो,
E(He⁺)
= 2.18 × 10⁻¹⁸ × (2)²
= 2.18 × 10⁻¹⁸ × 4
= 8.72 × 10⁻¹⁸ J ion⁻¹

✅ यही ऊर्जा He⁺ से इलेक्ट्रॉन हटाकर He²⁺ बनाने में लगेगी।

Step 1: व्यास को cm में बदलना
दिया है:
कार्बन परमाणु का व्यास = 0.15 nm
हम जानते हैं:
1 nm = 10⁻⁷ cm
इसलिए,
0.15 nm = 0.15 × 10⁻⁷ cm
= 1.5 × 10⁻⁸ cm
✅ कार्बन परमाणु का व्यास = 1.5 × 10⁻⁸ cm

---

Step 2: स्केल की लंबाई दी है
स्केल की लंबाई = 20 cm

---

Step 3: परमाणुओं की संख्या निकालना
एक-एक करके रखने का मतलब:
✅ संख्या = (कुल लंबाई) ÷ (एक परमाणु का व्यास)

परमाणुओं की संख्या = 20 / (1.5 × 10⁻⁸)

अब गणना:
20 ÷ 1.5 = 13.333...
और 10⁻⁸ नीचे है, तो ऊपर जाएगा 10⁸
= 13.33 × 10⁸ = 1.33 × 10⁹

✅ इसलिए, कार्बन परमाणुओं की संख्या = 1.33 × 10⁹

Step 1: दिया गया डेटा लिखें
👉 परमाणुओं की संख्या, N = 2 × 10⁸
👉 कुल लंबाई, L = 2.4 cm

---

Step 2: व्यास का सूत्र
एक कतार में एक-एक परमाणु रखे हों तो:
✅ कुल लंबाई = परमाणुओं की संख्या × एक परमाणु का व्यास
L = N × d ⇒ d = L / N

---

Step 3: मान रखकर गणना
d = 2.4 / (2 × 10⁸)

पहले 2.4 ÷ 2 = 1.2
d = 1.2 × 10⁻⁸ cm

✅ इसलिए व्यास = 1.2 × 10⁻⁸ cm

---

Step 4: इकाई बदलना (cm → m → nm)
1 cm = 10⁻² m
1.2 × 10⁻⁸ cm = 1.2 × 10⁻⁸ × 10⁻² = 1.2 × 10⁻¹⁰ m

और 1 nm = 10⁻⁹ m
1.2 × 10⁻¹⁰ m = 0.12 nm

✅ इसलिए व्यास = 0.12 nm

(क) त्रिज्या (Radius) निकालना
Step 1: व्यास को pm में बदलना
दिया है: व्यास = 2.6 Å
हम जानते हैं:
1 Å = 10⁻¹⁰ m = 100 pm
तो,
2.6 Å = 2.6 × 100 pm = 260 pm
✅ जिंक परमाणु का व्यास = 260 pm
Step 2: त्रिज्या = व्यास/2
r = d/2 = 260/2 = 130 pm

✅ जिंक परमाणु की त्रिज्या = 130 pm

---

(ख) 1.6 cm लंबाई में परमाणुओं की संख्या
Step 1: लंबाई को meter में बदलना
दिया है: L = 1.6 cm
1.6 cm = 1.6 × 10⁻² m

Step 2: परमाणु का व्यास meter में
2.6 Å = 2.6 × 10⁻¹⁰ m
Step 3: संख्या = कुल लंबाई / व्यास
N = L/d = (1.6 × 10⁻²) / (2.6 × 10⁻¹⁰)

अब गणना:
1.6 ÷ 2.6 = 0.6154
और 10⁻² / 10⁻¹⁰ = 10⁸
N = 0.6154 × 10⁸ = 6.154 × 10⁷

✅ परमाणुओं की संख्या = 6.154 × 10⁷

Step 1: इलेक्ट्रॉन के आवेश का मान
एक इलेक्ट्रॉन का आवेश (magnitude) होता है:
✅ e = 1.6022 × 10⁻¹⁹ C

---

Step 2: इलेक्ट्रॉनों की संख्या का सूत्र
यदि कुल आवेश Q दिया है, तो:
इलेक्ट्रॉनों की संख्या ,n = Q/e

---

Step 3: मान रखकर गणना
दिया है:
Q = 2.5 × 10⁻¹⁶ C
e = 1.6022 × 10⁻¹⁹ C

n = (2.5 × 10⁻¹⁶ C) / (1.6022 × 10⁻¹⁹ C)
n = (2.5 / 1.6022) × 10³ ≈ 1.56035 × 10³ ≈ 1560

✅ इसलिए इलेक्ट्रॉनों की संख्या ≈ 1560

Step 1: एक इलेक्ट्रॉन का आवेश (Charge of one electron)
इलेक्ट्रॉन का आवेश:
e = −1.6022 × 10⁻¹⁹ C

---

Step 2: इलेक्ट्रॉनों की संख्या का सूत्र
यदि कुल आवेश Q हो, तो:
n = Q / e

---

Step 3: मान रखकर गणना
दिया है:
Q = −1.282 × 10⁻¹⁸ C
e = −1.6022 × 10⁻¹⁹ C

n = (−1.282 × 10⁻¹⁸) / (−1.6022 × 10⁻¹⁹)
= (1.282 / 1.6022) × 10
≈ 0.8 × 10
≈ 8

✅ इसलिए तेल की बूंद पर 8 इलेक्ट्रॉन उपस्थित हैं।

Step 1: हल्के परमाणुओं का नाभिक कैसा होता है?
हल्के तत्व जैसे एलुमिनियम में:
👉 नाभिक का आकार (nuclear size) अपेक्षाकृत छोटा होता है
👉 नाभिकीय धन आवेश (nuclear charge, Z) कम होता है

---

Step 2: α-कणों पर प्रभाव क्यों कम होगा?
α-कण धन आवेशित होते हैं, इसलिए वे नाभिक से कूलॉम्ब बल (Coulomb repulsion) के कारण विचलित होते हैं।
लेकिन एलुमिनियम में Z कम है, इसलिए:
✅ प्रतिकर्षण कम ⇒ विचलन कम

---

Step 3: Rutherford प्रयोग के परिणामों में क्या बदलाव आएगा?
(1) सीधा निकलने वाले कण बढ़ जाएंगे
नाभिक छोटा होने के कारण, α-कणों का नाभिक से “करीब टकराना” कम होगा।
✅ इसलिए ज्यादातर α-कण बिना टकराए निकलेंगे।

(2) बड़े कोण का विचलन बहुत घट जाएगा
बड़ा विचलन तब होता है जब α-कण नाभिक के बहुत पास जाए।
लेकिन यहाँ Z भी कम है और नाभिक छोटा भी है:
✅ इसलिए बड़े कोण का प्रकीर्णन बहुत कम होगी।

(3) वापस लौटने वाले कण लगभग नहीं होंगे
सोने में कभी-कभी α-कण वापस लौट जाते हैं, क्योंकि नाभिक का Z बहुत ज्यादा होता है।
एलुमिनियम में Z कम ⇒ बल कम
✅ इसलिए वापस लौटना बहुत ही कम/लगभग नहीं होगी।

Step 1: A और Z का अर्थ
👉 द्रव्यमान संख्या (A) = प्रोटॉन + न्यूट्रॉन
👉 परमाणु संख्या (Z) = केवल प्रोटॉन
✅ किसी तत्व के लिए Z हमेशा स्थिर होता है (तत्व की पहचान यही करता है)।
✅ लेकिन A बदल सकता है क्योंकि अलग-अलग समस्थानिक (isotopes) में न्यूट्रॉन बदलते हैं।

---

Step 2: मानक (Standard) न्यूक्लाइड संकेत (Nuclide notation)
मानक (Standard) के अनुसार लिखते हैं:
^A_ZX
जहाँ
👉 A ऊपर बाएँ
👉 Z नीचे बाएँ
👉 X तत्व का प्रतीक

इसलिए:
✅ ⁷⁹₃₅Br सही है।

---

Step 3: बाकी क्यों गलत हैं?
👉 ₃₅⁷⁹Br में A और Z की position उलटी हो गई, जो मानक नहीं है। ❌
👉 ₃₅Br में सिर्फ Z लिखा है, जबकि मानक रूप में अकेला लिखना हो तो सिर्फ Br (या isotopes दिखाने हों तो A के साथ) लिखा जाता है। ❌
👉 ⁷⁹Br मान्य है क्योंकि कई बार Z (35) को समझा हुआ माना जाता है और isotope बताने के लिए केवल A ऊपर लिख देते हैं। ✅

Step 1: मान लें प्रोटॉनों की संख्या = p
तो, परमाणु क्रमांक Z = p
दिया है: न्यूट्रॉन, प्रोटॉन से 31.7% अधिक हैं
इसलिए न्यूट्रॉनों की संख्या:
n = p + (31.7/100)p = 1.317p

---

Step 2: द्रव्यमान संख्या (A) का उपयोग
द्रव्यमान संख्या: A = p + n
दिया है A = 81
तो,
p + n = 81
p + 1.317p = 81
2.317p = 81
अब,
p = 81 / 2.317 = 34.96 ≈ 35
✅ इसलिए Z = 35

---

Step 3: न्यूट्रॉन निकालें और प्रतीक लिखें
n = A − Z = 81 − 35 = 46
परमाणु प्रतीक का मानक रूप: ^A_ZX
✅ इसलिए परमाणु प्रतीक: ⁸¹₃₅Br

Step 1: मान लें आयन में इलेक्ट्रॉनों की संख्या = x
दिया है: न्यूट्रॉन इलेक्ट्रॉनों से 11.1% अधिक हैं
n = x + (11.1/100)x = 1.111x

---

Step 2: −1 आवेश का मतलब क्या है?
−1 आयन में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन होता है।
इसलिए:
👉 आयन में इलेक्ट्रॉन = Z + 1
👉 तो परमाणु क्रमांक (प्रोटॉन)
p = Z = x − 1

---

Step 3: द्रव्यमान संख्या (A) लगाएँ
दिया है: A = 37 और
A = p + n
37 = (x − 1) + 1.111x
37 = 2.111x − 1 ⇒ 2.111x = 38 ⇒ x = 38/2.111 ≈ 18

✅ इलेक्ट्रॉन (ion) = 18
✅ प्रोटॉन (Z) = x − 1 = 17

---

Step 4: आयन का प्रतीक लिखें
Z = 17 ⇒ तत्व Cl
A = 37
✅ इसलिए आयन का प्रतीक:
³⁷₁₇Cl⁻

Step 1: मान लें आयन में इलेक्ट्रॉनों की संख्या = x
दिया है: न्यूट्रॉन इलेक्ट्रॉनों से 30.4% अधिक हैं
n = x + (30.4/100)x = 1.304x

---

Step 2: +3 आवेश का मतलब
+3 आयन में 3 इलेक्ट्रॉन कम होते हैं।
इसलिए:
👉 आयन में इलेक्ट्रॉन = Z − 3
👉 x = Z − 3 ⇒ Z = x + 3

और प्रोटॉन (Z) = x + 3

---

Step 3: द्रव्यमान संख्या (A) लगाएँ
दिया है: A = 56
और
A = p + n
56 = (x + 3) + 1.304x
56 = 2.304x + 3
⇒ 2.304x = 53
⇒ x = 53/2.304 ≈ 23

✅ आयन में इलेक्ट्रॉन = 23
✅ परमाणु क्रमांक Z = x + 3 = 23 + 3 = 26

---

Step 4: आयन का प्रतीक
Z = 26 ⇒ तत्व Fe
A = 56
Charge = +3
✅ इसलिए आयन का प्रतीक: ⁵⁶₂₆Fe³⁺

Step 1: EM spectrum का बेसिक क्रम याद रखें
आवृत्ति (ν) बढ़ने पर तरंगदैर्घ्य (λ) घटता है।
EM spectrum में तरंगदैर्घ्य का सामान्य क्रम:
✅ Radio < Microwave < Infrared < Visible < UV < X-ray < Gamma/Cosmic

---

Step 2: दिए गए विकल्पों को इसी क्रम में रखें
👉 FM रेडियो ⇒ Radio waves (सबसे कम frequency)
👉 Microwave oven ⇒ Microwaves (radio से अधिक)
👉 Amber light ⇒ Visible light (microwave से अधिक)
👉 X-rays ⇒ Visible से बहुत अधिक frequency
👉 Cosmic rays ⇒ Very high energy radiation (सबसे अधिक frequency)

Step 1: तरंगदैर्घ्य को मीटर में बदलें
λ = 337.1 nm
1 nm = 10⁻⁹ m
⇒ λ = 337.1 × 10⁻⁹ m

---

Step 2: एक फोटॉन की ऊर्जा निकालें
सूत्र: E = hν = (hc/λ)
जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
c = 3.0 × 10⁸ m/s
अब मान रखेंगे:
E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (337.1 × 10⁻⁹)
E ≈ 5.89 × 10⁻¹⁹ J प्रति फोटॉन

---

Step 3: लेज़र की क्षमता (Power) निकालें
Power = प्रति सेकंड निकली कुल ऊर्जा
दिया है: फोटॉन/सेकंड = 5.6 × 10²⁴ s⁻¹
P = E × (फोटॉन/सेकंड)
P = (5.89 × 10⁻¹⁹) × (5.6 × 10²⁴)
P = 32.98 × 10⁵ J s⁻¹
⇒ P = 3.30 × 10⁶ W
✅ यही लेज़र की क्षमता है।

Step 1: दिए गए मान
👉 तरंगदैर्घ्य, λ = 616 nm = 616 × 10⁻⁹ m
👉 प्रकाश का वेग, c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
👉 प्लैंक स्थिरांक, h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
👉 समय, t = 30 s
👉 कुल ऊर्जा, E_total = 2 J

---

(क) आवृत्ति (ν)
सूत्र: ν = c / λ
ν = (3.0 × 10⁸) / (616 × 10⁻⁹)
= (3.0 / 616) × 10¹⁷
= 0.00487 × 10¹⁷
= 4.87 × 10¹⁴ s⁻¹
✅ ν = 4.87 × 10¹⁴ s⁻¹

---

(ख) 30 सेकंड में तय की गई दूरी
सूत्र: d = c × t
d = (3.0 × 10⁸) × 30
= 90 × 10⁸
= 9.0 × 10⁹ m
✅ d = 9.0 × 10⁹ m

---

(ग) एक क्वांटम (फोटॉन) की ऊर्जा
सूत्र: E = hν
E = (6.626 × 10⁻³⁴) × (4.87 × 10¹⁴)
= (6.626 × 4.87) × 10⁻²⁰
= 32.27 × 10⁻²⁰
= 3.227 × 10⁻¹⁹ J
✅ E = 3.227 × 10⁻¹⁹ J

---

(घ) क्वांटमों (फोटॉनों) की संख्या
सूत्र: N = E_total / E
N = 2 / (3.227 × 10⁻¹⁹)
= (2 / 3.227) × 10¹⁹
≈ 0.62 × 10¹⁹
= 6.2 × 10¹⁸
✅ N = 6.2 × 10¹⁸ (लगभग)

Step 1: एक फोटॉन की ऊर्जा निकालें
सूत्र: E = hν = (hc/λ)
दिया है:
👉 λ = 600 nm = 600 × 10⁻⁹ m
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
👉 c = 3.0 × 10⁸ m/s
अब,
E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (600 × 10⁻⁹)
E = 3.313 × 10⁻¹⁹ J (प्रति फोटॉन)

---

Step 2: फोटॉनों की संख्या निकालें
कुल ऊर्जा: E_total = 3.15 × 10⁻¹⁸ J
फोटॉनों की संख्या:
N = E_total / E
N = (3.15 × 10⁻¹⁸) / (3.313 × 10⁻¹⁹)
N = 9.51 ≈ 10
✅ इसलिए फोटॉनों की संख्या ≈ 10

Step 1: आवृत्ति (ν) निकालना
यहाँ जीवनकाल (τ) = 2 ns = 2 × 10⁻⁹ s
आवृत्ति:
ν = 1/τ
ν = 1 / (2 × 10⁻⁹)
= 5.0 × 10⁸ s⁻¹

---

Step 2: एक फोटॉन की ऊर्जा (E)
सूत्र: E = hν
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s
ν = 5.0 × 10⁸ s⁻¹
E = (6.626 × 10⁻³⁴) × (5.0 × 10⁸)
= 3.313 × 10⁻²⁵ J (प्रति फोटॉन)

---

Step 3: स्रोत की कुल ऊर्जा
कुल ऊर्जा = (फोटॉनों की संख्या) × (एक फोटॉन की ऊर्जा)
N = 2.5 × 10¹⁵
Energy = (2.5 × 10¹⁵) × (3.313 × 10⁻²⁵)
= 8.2825 × 10⁻¹⁰ J
≈ 8.28 × 10⁻¹⁰ J

✅ यही स्रोत की ऊर्जा है।

दिए गए स्थिरांक (Constants):
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J s

---

Step 1: पहले संक्रमण (λ₁ = 589 nm)
λ₁ = 589 nm = 589 × 10⁻⁹ m
आवृत्ति:
ν₁ = c/λ₁
ν₁ = (3.0 × 10⁸) / (589 × 10⁻⁹)
ν₁ = 5.093 × 10¹⁴ s⁻¹

ऊर्जा (एक फोटॉन):
E₁ = hν₁
E₁ = (6.626 × 10⁻³⁴) × (5.093 × 10¹⁴)
E₁ = 3.3746 × 10⁻¹⁹ J

---

Step 2: दूसरा संक्रमण (λ₂ = 589.6 nm)
λ₂ = 589.6 nm = 589.6 × 10⁻⁹ m
आवृत्ति:
ν₂ = c/λ₂
ν₂ = (3.0 × 10⁸) / (589.6 × 10⁻⁹)
ν₂ = 5.088 × 10¹⁴ s⁻¹

ऊर्जा (एक फोटॉन):
E₂ = hν₂
E₂ = (6.626 × 10⁻³⁴) × (5.088 × 10¹⁴)
E₂ = 3.3713 × 10⁻¹⁹ J

---

Step 3: दोनों उत्तेजित अवस्थाओं के बीच ऊर्जा-अंतर
ΔE = E₁ − E₂
ΔE = (3.3746 × 10⁻¹⁹) − (3.3713 × 10⁻¹⁹)
ΔE = 3.31 × 10⁻²² J (लगभग)

दिए गए स्थिरांक (Constants)
👉 h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
👉 c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
👉 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
👉 m (electron) = 9.11 × 10⁻³¹ kg
कार्यफलन:
W₀ = 1.9 eV
⇒ W₀ = 1.9 × 1.602 × 10⁻¹⁹
⇒ W₀ = 3.04 × 10⁻¹⁹ J

---

(ख) Step 1: देहली आवृत्ति (ν₀)
नियम:
W₀ = h ν₀
ν₀ = W₀ / h
ν₀ = (3.04 × 10⁻¹⁹) / (6.626 × 10⁻³⁴)
= 4.59 × 10¹⁴ Hz
✅ इसलिए ν₀ = 4.59 × 10¹⁴ Hz

---

(क) Step 2: देहली तरंगदैर्घ्य (λ₀)
सूत्र:
λ₀ = c/ν₀ = (h c)/W₀
λ₀ = c/ν₀

λ₀ = (3.0 × 10⁸) / (4.59 × 10¹⁴)
= 6.53 × 10⁻⁷ m
= 653 nm
✅ इसलिए λ₀ = 653 nm

---

500 nm प्रकाश के लिए फोटोइलेक्ट्रॉन की K.E. और वेग
Step 3: 500 nm के प्रकाश की ऊर्जा (E)
λ = 500 nm = 500 × 10⁻⁹ m = 5.0 × 10⁻⁷ m
E = (h c)/λ

E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (5.0 × 10⁻⁷)
= 3.98 × 10⁻¹⁹ J

---

Step 4: फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (K.E.)
आइंस्टीन का प्रकाश-विद्युत समीकरण:
K.E. = E − W₀

K.E. = (3.98 × 10⁻¹⁹) − (3.04 × 10⁻¹⁹)
= 0.93 × 10⁻¹⁹ J
= 9.3 × 10⁻²⁰ J

eV में:
K.E. = (9.3 × 10⁻²⁰) / (1.602 × 10⁻¹⁹)
≈ 0.58 eV
✅ इसलिए K.E. ≈ 9.3 × 10⁻²⁰ J (≈ 0.58 eV)

---

Step 5: फोटोइलेक्ट्रॉन का वेग (v)
K.E. = (1/2)mv² ⇒ v = √(2K.E./m)

v = √(2 × 9.3 × 10⁻²⁰ / 9.11 × 10⁻³¹)
≈ 4.52 × 10⁵ m s⁻¹
✅ इसलिए v ≈ 4.52 × 10⁵ m s⁻¹

Step 1: प्रकाश-विद्युत समीकरण लिखें
(1/2)mv² = h(ν − ν₀)

और ν = c/λ, ν₀ = c/λ₀ लगाने पर:
(1/2)mv² = hc(1/λ − 1/λ₀)
(यही मुख्य समीकरण है)

---

Step 2: दिए गए वेग (v) निकालें
v × 10⁻⁵ (m s⁻¹) दिया है, इसलिए
👉 500 nm के लिए: v = 2.55 × 10⁵ m/s
👉 450 nm के लिए: v = 4.35 × 10⁵ m/s
👉 400 nm के लिए: v = 5.35 × 10⁵ m/s

---

Step 3: λ₀ निकालना (दो समीकरणों को भाग देकर)
तीनों केस में:
hc(1/λ − 1/λ₀) = (1/2)mv²

500 nm और 450 nm वाले समीकरणों का अनुपात लेने पर (h, c, m हट जाते हैं) एक relation बनता है:
(λ₀ − 450) / (λ₀ − 500) = ( (4.35/2.55)² ) × (450/500)

अब मान निकालें:
( (4.35/2.55)² ) × (450/500) = 2.619

तो,
λ₀ − 450 = 2.619(λ₀ − 500)
λ₀ − 450 = 2.619λ₀ − 1309.5
1.619λ₀ = 859.5 ⇒ λ₀ ≈ 530.88 ≈ 531 nm

✅ देहली तरंगदैर्घ्य λ₀ ≈ 531 nm

---

Step 4: प्लांक स्थिरांक (h) निकालना
मुख्य समीकरण में λ₀ रखकर h निकालते हैं (500 nm वाली reading से):
(1/2)mv² = hc(1/λ − 1/λ₀)
⇒ h = [(1/2)mv²] / [c(1/λ − 1/λ₀)]

मान:
👉 m = 9.11 × 10⁻³¹ kg
👉 c = 3.0 × 10⁸ m/s
👉 v = 2.55 × 10⁵ m/s
👉 λ = 500 nm = 500 × 10⁻⁹ m
👉 λ₀ = 531 nm = 531 × 10⁻⁹ m

गणना करने पर:
✅ h ≈ 8.49 × 10⁻³⁴ J s

Step 1: फोटॉन की ऊर्जा (E) निकालें
दिया है: λ = 256.7 nm = 256.7 × 10⁻⁹ m
सूत्र: E = hc/λ
जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s, c = 3.0 × 10⁸ m/s

E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (256.7 × 10⁻⁹)
E = 7.74 × 10⁻¹⁹ J

अब eV में: (1 eV = 1.6021 × 10⁻¹⁹ J)
E = (7.74 × 10⁻¹⁹) / (1.6021 × 10⁻¹⁹)
E = 4.83 eV (लगभग)

---

Step 2: फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा (K.E._max)
Stopping potential V_s = 0.35 V
नियम: K.E._max = eV_s
इसलिए eV में सीधे:
K.E._max = 0.35 eV

---

Step 3: कार्यफलन (W₀)
Einstein समीकरण: E = W₀ + K.E._max
W₀ = E − K.E._max
W₀ = 4.83 − 0.35
W₀ = 4.48 eV (लगभग)

J में:
W₀ = 4.48 × 1.6021 × 10⁻¹⁹
W₀ = 7.18 × 10⁻¹⁹ J (लगभग)

Step 1: फोटॉन की ऊर्जा निकालें
दिया है:
λ = 150 pm = 150 × 10⁻¹² m
सूत्र:
E = hc/λ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
c = 3.0 × 10⁸ m/s

E = (6.626 × 10⁻³⁴ × 3.0 × 10⁸) / (150 × 10⁻¹²)
E = 1.325 × 10⁻¹⁵ J

---

Step 2: उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (K.E.) निकालें
दिया है: v = 1.5 × 10⁷ m s⁻¹
electron mass, m = 9.11 × 10⁻³¹ kg
सूत्र:
K.E. = (1/2)mv²

K.E. = (1/2) × (9.11 × 10⁻³¹) × (1.5 × 10⁷)²
K.E. = 1.025 × 10⁻¹⁶ J (लगभग)

---

Step 3: बंधन ऊर्जा निकालें
फोटॉन की ऊर्जा = बंधन ऊर्जा + गतिज ऊर्जा
⇒ बंधन ऊर्जा = E − K.E.
बंधन ऊर्जा
= (1.325 × 10⁻¹⁵) − (1.025 × 10⁻¹⁶)
= 1.223 × 10⁻¹⁵ J
≈ 1.22 × 10⁻¹⁵ J

---

Step 4: J से eV में बदलना
1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J
बंधन ऊर्जा (eV)
= (1.22 × 10⁻¹⁵) / (1.602 × 10⁻¹⁹)
≈ 7.63 × 10³ eV
✅ अंतिम उत्तर: 7.63 × 10³ eV

Step 1: तरंगदैर्घ्य से आवृत्ति निकालें
दिया है:
λ = 1285 nm = 1285 × 10⁻⁹ m
c = 3.0 × 10⁸ m s⁻¹
\nu=\frac{c}{\lambda}

ν = (3.0 × 10⁸) / (1285 × 10⁻⁹)
= 2.3346 × 10¹⁴ Hz

---

Step 2: पास्चेन सूत्र में मान रखें
दिया है:
\nu=3.29\times{10}^{15}\left[\frac{1}{3^2}-\frac{1}{n^2}\right]

2.3346 × 10¹⁴ = 3.29 × 10¹⁵ (1/9 − 1/n²)

दोनों तरफ 3.29 × 10¹⁵ से भाग:
(1/9 − 1/n²) = (2.3346 × 10¹⁴) / (3.29 × 10¹⁵)
= 7.096 × 10⁻²

---

Step 3: n निकालें
1/n² = 1/9 − 7.096 × 10⁻²

1/9 = 0.11111
1/n² = 0.11111 − 0.07096 = 0.04015
n² = 1/0.04015 = 24.9 ≈ 25 ⇒ n = 5

✅ इसलिए n = 5 और संक्रमण 5 → 3 होगा।

---

Step 4: स्पेक्ट्रम का क्षेत्र बताइए
λ = 1285 nm (यानि 1.285 μm)
यह 700 nm से बड़ा है, इसलिए यह दृश्य प्रकाश में नहीं आता।
✅ यह अवरक्त (Infrared) क्षेत्र में आता है।

Step 1: बोहर त्रिज्या का सूत्र लगाएँ
हाइड्रोजन के लिए:
r_n = 0.529 n² Å = 52.9 n² pm

---

Step 2: प्रारम्भिक कक्षा (r = 1.3225 nm) से n निकालें
1.3225 nm = 1322.5 pm
1322.5 = 52.9 n₂²
⇒ n₂² = 1322.5/52.9 = 25
⇒ n₂ = 5
✅ प्रारम्भिक कक्षा: n₂ = 5

---

Step 3: अंतिम कक्षा (r = 211.6 pm) से n निकालें
211.6 = 52.9 n₁²
⇒ n₁² = 211.6/52.9 = 4
⇒ n₁ = 2
✅ अंतिम कक्षा: n₁ = 2

---

Step 4: Rydberg सूत्र से तरंग संख्या (ṽ) निकालें
ν = R(1/n₁² − 1/n₂²)

जहाँ R = 1.09679 × 10⁷ m⁻¹
ν = 1.09679 × 10⁷ (1/2² − 1/5²)
= 1.09679 × 10⁷ (1/4 − 1/25)
= 1.09679 × 10⁷ (21/100)
= 2.303 × 10⁶ m⁻¹

---

Step 5: तरंगदैर्घ्य (λ) निकालें
λ = 1/ν
λ = 1/(2.303 × 10⁶)
= 4.34 × 10⁻⁷ m
= 434 nm
✅ λ = 434 nm

---

Step 6: श्रेणी और क्षेत्र बताइए
क्योंकि अंतिम कक्षा n₁ = 2 है, इसलिए यह बाल्मर श्रेणी है।
434 nm दृश्य क्षेत्र में आता है।
✅ श्रेणी: Balmer series
✅ क्षेत्र: Visible

Step 1: डी-ब्रॉग्ली तरंगदैर्घ्य का सूत्र
λ = h / (mv)

जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
m (electron) = 9.11 × 10⁻³¹ kg
v = 1.6 × 10⁶ m s⁻¹

---

Step 2: मान रखकर गणना
λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / [(9.11 × 10⁻³¹)(1.6 × 10⁶)]

पहले नीचे वाला गुणन:
(9.11 × 10⁻³¹) × (1.6 × 10⁶)
= 14.576 × 10⁻²⁵
= 1.4576 × 10⁻²⁴

अब,
λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / (1.4576 × 10⁻²⁴)
= 4.55 × 10⁻¹⁰ m

✅ इसलिए λ = 4.55 × 10⁻¹⁰ m

---

Step 3: मीटर से pm में बदलना
1 pm = 10⁻¹² m
4.55 × 10⁻¹⁰ m = 455 × 10⁻¹² m = 455 pm

✅ इसलिए λ = 455 pm

Step 1: de Broglie सूत्र
λ = h/(mv)
इससे,
v = h/(mλ)
जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
m (न्यूट्रॉन का द्रव्यमान) = 1.675 × 10⁻²⁷ kg
λ = 800 pm = 800 × 10⁻¹² m

---

Step 2: मान रखकर गणना
v = (6.626 × 10⁻³⁴) / [(1.675 × 10⁻²⁷) (800 × 10⁻¹²)]

नीचे वाला गुणन:
(1.675 × 800) × 10⁻³⁹ = 1340 × 10⁻³⁹ = 1.34 × 10⁻³⁶

अब,
v = (6.626 × 10⁻³⁴) / (1.34 × 10⁻³⁶)
= (6.626/1.34) × 10²
≈ 4.94 × 10² m s⁻¹

✅ इसलिए v ≈ 4.94 × 10² m s⁻¹

Step 1: de Broglie सूत्र
\lambda=\frac{h}{mv}

जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
m (electron) = 9.11 × 10⁻³¹ kg
v = 2.19 × 10⁶ m s⁻¹

---

Step 2: मान रखकर गणना
\lambda=\frac{6.626\times{10}^{-34}}{\left(9.11\times{10}^{-31})(2.19\times{10}^6\right)}

नीचे वाला गुणन:
9.11 × 2.19 = 19.95 (लगभग)
और 10⁻³¹ × 10⁶ = 10⁻²⁵
⇒ हर = 19.95 × 10⁻²⁵ = 1.995 × 10⁻²⁴

अब,
\lambda=\frac{6.626\times{10}^{-34}}{1.995\times{10}^{-24}}=3.32\times{10}^{-10}\mathrm{\ m}

✅ इसलिए λ = 3.32 × 10⁻¹⁰ m

---

Step 3: m से pm में बदलना
1 pm = 10⁻¹² m
3.32\times{10}^{-10}\mathrm{\ m}=332\times{10}^{-12}\mathrm{\ m}=332\mathrm{\ pm}

✅ इसलिए λ = 332 pm

Step 1: de Broglie सूत्र
λ = h / (mv)
जहाँ
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
m = 0.1 kg
v = 4.37 × 10⁵ m s⁻¹

---

Step 2: मान रखकर गणना
λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / [0.1 × (4.37 × 10⁵)]

पहले हर (denominator) निकालें:
0.1 × 4.37 × 10⁵ = 4.37 × 10⁴

अब,
λ = (6.626 × 10⁻³⁴) / (4.37 × 10⁴)
= (6.626/4.37) × 10⁻³⁸
≈ 1.516 × 10⁻³⁸ m
≈ 1.52 × 10⁻³⁸ m

Step 1: Heisenberg Uncertainty Principle
Δx × Δp ≥ h / (4π)

इससे,
Δp = h / (4π × Δx)

---

Step 2: Δx को meter में बदलें
Δx = 0.002 nm
= 0.002 × 10⁻⁹ m
= 2 × 10⁻¹² m

---

Step 3: Δp निकालें
h = 6.626 × 10⁻³⁴ J·s
\(\Delta p=\frac{6.626\times{10}^{-34}}{4\pi\times2\times{10}^{-12}}\)
\(\Delta p\approx2.64\times{10}^{-23}\ {\mathrm{kg\ m\ \operatorname{s}}}^{-1}\)

✅ Δp = 2.64 × 10⁻²³ kg m s⁻¹

---

Step 4: दिया गया संवेग (p) निकालें
p = h / (4π × 0.05 nm)
0.05 nm = 0.05 × 10⁻⁹ m = 5 × 10⁻¹¹ m
\(p=\frac{6.626\times{10}^{-34}}{4\pi\times5\times{10}^{-11}}\)
\(p\approx1.055\times{10}^{-24}\ {\mathrm{kg\ m\ \operatorname{s}}}^{-1}\)

✅ p = 1.055 × 10⁻²⁴ kg m s⁻¹

---

Step 5: कठिनाई का कारण (Comparison)
\(\frac{\Delta p}{p}=\frac{2.64\times{10}^{-23}}{1.055\times{10}^{-24}}\approx25\)

✅ Δp, p से लगभग 25 गुना बड़ा है।
इसलिए इलेक्ट्रॉन का वास्तविक संवेग सटीक रूप से निर्धारित नहीं हो पाएगा।

Step 1: हर सेट को कक्षक (orbital) में बदलें
l का अर्थ:
👉 l = 0 ⇒ s
👉 l = 1 ⇒ p
👉 l = 2 ⇒ d
अब:
n=4, l=2 ⇒ 4d
n=3, l=2 ⇒ 3d
n=4, l=1 ⇒ 4p
n=3, l=2 ⇒ 3d
n=3, l=1 ⇒ 3p
n=4, l=1 ⇒ 4p

---

Step 2: (n + l) नियम से ऊर्जा तुलना
ऊर्जा का नियम (बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु में):
👉 जिसका (n+l) कम ⇒ ऊर्जा कम
👉 यदि (n+l) समान हो ⇒ जिसका n छोटा ⇒ ऊर्जा कम
अब (n+l):
👉 3p: n+l = 3+1 = 4 → (सबसे कम)
👉 3d: n+l = 3+2 = 5
👉 4p: n+l = 4+1 = 5
👉 4d: n+l = 4+2 = 6 → (सबसे ज्यादा)
अब (n+l) = 5 में तुलना:
3d (n=3) की ऊर्जा 4p (n=4) से कम होगी।

---

Step 3: क्रम बनाएं
3p (5) सबसे कम
फिर 3d (2 और 4)
फिर 4p (3 और 6)
फिर 4d (1) सबसे ज्यादा
✅ इसलिए क्रम: 5 < 2 = 4 < 6 = 3 < 1

Step 1: प्रभावी नाभिकीय आवेश (Z_eff) क्या होता है?
\(Z_{eff}=Z-\sigma\)

जहाँ
👉 Z = वास्तविक नाभिकीय आवेश (परमाणु क्रमांक)
👉 σ = शील्डिंग/परिरक्षण (भीतरी इलेक्ट्रॉनों द्वारा)

---

Step 2: किसे सबसे ज्यादा shielding मिलेगी?
👉 2p इलेक्ट्रॉन नाभिक के बहुत पास होता है ⇒ परिरक्षण प्रभाव कम ⇒ Z_eff ज्यादा
👉 3p इलेक्ट्रॉन उससे बाहर है ⇒ परिरक्षण प्रभाव ज्यादा ⇒ Z_eff कम
👉 4p इलेक्ट्रॉन सबसे बाहरी है ⇒ परिरक्षण प्रभाव सबसे ज्यादा ⇒ Z_eff सबसे कम

---

Step 3: निष्कर्ष
सबसे बाहरी इलेक्ट्रॉन पर अंदर के सभी इलेक्ट्रॉन सबसे ज्यादा shielding करते हैं, इसलिए वह नाभिक का आकर्षण सबसे कम महसूस करता है।
✅ इसलिए 4p इलेक्ट्रॉन न्यूनतम Z_eff अनुभव करता है।

Rule (मुख्य नियम)
👉 जिस कक्षक का penetration (भेदन) ज्यादा होता है, वह नाभिक के ज्यादा पास आता है और Z_eff ज्यादा अनुभव करता है।
भेदन क्रम (एक ही n के लिए): s > p > d > f

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(i) 2s vs 3s
👉 2s का n छोटा है, इसलिए यह नाभिक के ज्यादा निकट रहेगा।
✅ इसलिए 2s अधिक Z_eff अनुभव करेगा।

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(ii) 4d vs 4f
👉 एक ही n = 4 में penetration: d > f
✅ इसलिए 4d अधिक Z_eff अनुभव करेगा।

---

(iii) 3d vs 3p
👉 एक ही n = 3 में penetration: p > d
✅ इसलिए 3p अधिक Z_eff अनुभव करेगा।

Step 1: परमाणु क्रमांक (Z) की तुलना
👉 Al का Z = 13
👉 Si का Z = 14
✅ यानी Si में नाभिकीय आवेश Al से ज्यादा है।

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Step 2: दोनों में कक्षक (orbital) वही है
दोनों में अयुग्मित इलेक्ट्रॉन 3p में है, इसलिए:
👉 shielding (भीतरी इलेक्ट्रॉनों का परिरक्षण) लगभग एक समान रहेगा|
👉 लेकिन Si में Z अधिक होने से बाहरी 3p इलेक्ट्रॉन पर नाभिक का आकर्षण ज्यादा होगा

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Step 3: निष्कर्ष
\(Z_{eff}=Z-\sigma\)

Si में Z बड़ा है और σ लगभग समान, इसलिए Z_eff Si में अधिक होगा।
✅ इसलिए Si का 3p इलेक्ट्रॉन नाभिक से अधिक Z_eff अनुभव करेगा।

(क) P (Z = 15)
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p³
3p में 3 इलेक्ट्रॉन अलग-अलग कक्षकों में जाते हैं (Hund’s rule)
✅ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = 3

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(ख) Si (Z = 14)
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: 1s² 2s² 2p⁶ 3s² 3p²
3p में 2 इलेक्ट्रॉन अलग-अलग कक्षकों में
✅ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = 2

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(ग) Cr (Z = 24)
Cr का असाधारण इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: [Ar] 3d⁵ 4s¹
3d⁵ में 5 unpaired + 4s¹ में 1 unpaired
✅ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = 6

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(घ) Fe (Z = 26)
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: [Ar] 3d⁶ 4s²
3d⁶ में: 5 में पहले 5 unpaired, 6वाँ एक जोड़ी बनाता है
✅ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = 4

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(ङ) Kr (Z = 36)
इलेक्ट्रॉनिक विन्यास: [Ar] 3d¹⁰ 4s² 4p⁶
सब कक्षक पूर्ण भरे हैं
✅ अयुग्मित इलेक्ट्रॉन = 0

(क) Step 1: n = 4 के लिए l के मान
किसी भी n के लिए:
l = 0 से (n − 1) तक
n = 4 ⇒ l = 0, 1, 2, 3
इनके नाम:
👉 l = 0 ⇒ s
👉 l = 1 ⇒ p
👉 l = 2 ⇒ d
👉 l = 3 ⇒ f
✅ इसलिए n = 4 के लिए उपकोश: 4s, 4p, 4d, 4f (कुल 4)

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(ख) Step 2: n = 4 में कुल कक्षक (orbitals) कितने?
n-th shell में कुल orbitals = n²
n = 4 ⇒ कुल orbitals = 4² = 16

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Step 3: m_s = −1/2 वाले इलेक्ट्रॉन कितने?
हर orbital में अधिकतम 2 इलेक्ट्रॉन होते हैं:
👉 एक का m_s = +1/2
👉 दूसरे का m_s = −1/2
यदि हर orbital में एक इलेक्ट्रॉन ऐसा हो जिसका m_s = −1/2, तो
✅ m_s = −1/2 वाले इलेक्ट्रॉन = orbitals की संख्या = 16