👉 अभिक्रिया कोटि वेग व्यंजक में उपस्थित सभी अभिकारकों की घातों (powers) का योग होती है।

👉 (1) वेग = k[NO]²
NO की घात = 2
इसलिए अभिक्रिया कोटि = 2

👉 (2) वेग = k[H₂O₂][I⁻]
घातों का योग = 1 + 1 = 2

👉 (3) वेग = k[CH₃CHO]³ᐟ²
केवल एक अभिकारक है जिसकी घात 3/2 है
इसलिए अभिक्रिया कोटि = 3/2

👉 (4) वेग = k[C₂H₅Cl]
घात = 1
इसलिए यह प्रथम कोटि अभिक्रिया है

👉 वेग स्थिरांक की इकाई निकालने के लिए सूत्र:
k = Rate / (Concentration)ⁿ
जहाँ n = अभिक्रिया कोटि

👉 द्वितीय कोटि की अभिक्रिया के लिए वेग नियम होता है:
वेग ∝ (सांद्रता)²

👉 (i) जब सांद्रता दुगुनी की जाती है
सांद्रता = 2C
वेग ∝ (2C)² = 4C²
अर्थात् अभिक्रिया का वेग चार गुना बढ़ जाता है।

👉 (ii) जब सांद्रता आधी की जाती है
सांद्रता = C/2
वेग ∝ (C/2)² = C²/4
अर्थात् अभिक्रिया का वेग चार गुना घट जाता है।

👉 ताप का प्रभाव
ताप बढ़ाने से अभिकारक अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
अधिक अणु सक्रियण ऊर्जा प्राप्त कर लेते हैं, जिससे प्रभावकारी टक्करों की संख्या बढ़ती है।
इस कारण वेग स्थिरांक (k) का मान बढ़ जाता है।

👉 मात्रात्मक निरूपण (Quantitative Expression)
ताप और वेग स्थिरांक के बीच संबंध Arrhenius समीकरण से दिया जाता है:

k = A e^−E_a/RT

जहाँ
k = वेग स्थिरांक
A = आवृत्ति गुणांक
E_a = सक्रियण ऊर्जा
R = गैस नियतांक
T = परम ताप

👉 ताप बढ़ाने पर E_a/RT का मान घटता है, जिससे k का मान तेजी से बढ़ता है।

👉 इससे स्पष्ट होता है कि ताप में थोड़ी-सी वृद्धि भी वेग स्थिरांक में बड़ी वृद्धि कर सकती है।

👉 औसत वेग का सूत्र:
औसत वेग = − Δ[A] / Δt

👉 30 s पर सांद्रता, [A]₁ = 0.31 mol L⁻¹
👉 60 s पर सांद्रता, [A]₂ = 0.17 mol L⁻¹

👉 सांद्रता में परिवर्तन:
Δ[A] = 0.17 − 0.31 = −0.14 mol L⁻¹

👉 समय अंतराल:
Δt = 60 − 30 = 30 s

👉 औसत वेग:
= 0.14 mol L⁻¹ / 30 s

👉 औसत वेग = 4.7 × 10⁻³ mol L⁻¹ s⁻¹

👉 दी गई अभिक्रिया में:
A के प्रति कोटि = 1
B के प्रति कोटि = 2

👉 इसलिए वेग समीकरण होगा:
वेग ∝ [A]¹ [B]²

👉 (ii) जब B की सांद्रता तीन गुनी की जाती है
[B] → 3[B]
वेग ∝ (3[B])² = 9[B]²
अर्थात् अभिक्रिया का वेग 9 गुना बढ़ जाता है।

👉 (iii) जब A और B दोनों की सांद्रता दुगुनी की जाती है
[A] → 2[A]
[B] → 2[B]
वेग ∝ 2[A] × (2[B])²
वेग ∝ 2 × 4 = 8
अर्थात् अभिक्रिया का वेग 8 गुना बढ़ जाता है।

माना अभिक्रिया का वेग नियम है:
वेग = k [A]^p [B]^q

प्रयोग (i): 5.07 × 10⁻⁵ = k (0.20)^p (0.30)^q
प्रयोग (ii): 5.07 × 10⁻⁵ = k (0.20)^p (0.10)^q

प्रयोग (i) और (ii) को भाग देने पर:
$$ \frac{5.07 \times 10^{-5}}{5.07 \times 10^{-5}} = \frac{k(0.20)^p(0.30)^q}{k(0.20)^p(0.10)^q} $$ $$ 1 = (3)^q $$ 👉 अतः n = 0

अब प्रयोग (ii) और (iii) लेते हैं:
प्रयोग (iii): 1.43 × 10⁻⁴ = k (0.40)^p (0.05)^q

प्रयोग (ii) और (iii) को भाग देने पर:
$$ \frac{5.07 \times 10^{-5}}{1.43 \times 10^{-4}} = \frac{k(0.20)^p(0.30)^0}{k(0.20)^p(0.10)^0} $$ चूँकि q = 0, इसलिए B का प्रभाव समाप्त हो जाएगा।

$$ \frac{5.07 \times 10^{-5}}{1.43 \times 10^{-4}} = \frac{k(0.20)^p}{k(0.20)^p} $$ $$ 0.35 = \left(\frac{1}{2}\right)^p $$ 👉 अतः p = 1.5 = 0

👉 माना सामान्य वेग नियम:
\( \text{वेग} = k[A]^p[B]^q \)

👉 B की कोटि ज्ञात करने के लिए (प्रयोग II और III)
• [A] समान है (0.3 mol L⁻¹)
• [B] दुगुनी की गई: 0.2 → 0.4
• वेग: 7.2 × 10⁻² → 2.88 × 10⁻¹ (4 गुना)

👉 जब सांद्रता दुगुनी करने पर वेग 4 गुना हो जाए, तो कोटि = 2
👉 अतः q = 2

👉 A की कोटि ज्ञात करने के लिए (प्रयोग I और IV)
• [B] समान है (0.1 mol L⁻¹)
• [A] 4 गुना की गई: 0.1 → 0.4
• वेग: 6.0 × 10⁻³ → 2.40 × 10⁻² (4 गुना)

👉 जब सांद्रता 4 गुनी करने पर वेग 4 गुना हो, तो कोटि = 1
👉 अतः p = 1

👉 वेग नियम बनता है:
वेग \( = k[A][B]^2 \)
अभिक्रिया की कुल कोटि = 1 + 2 = 3

👉 वेग स्थिरांक (k) की गणना (प्रयोग I से):
\( k = \frac{\text{वेग}}{[A][B]^2} \)

\( k = \frac{6.0 \times 10^{-3}}{(0.1)(0.1)^2} \)

\( k = 6 \, L^2 \, \text{mol}^{-2} \, \text{min}^{-1} \)

👉 प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए अर्धायु का सूत्र होता है:
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{k} \)

👉 (i) जब \( k = 200 \, s^{-1} \)
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{200} \)
\( t_{1/2} = 3.47 \times 10^{-3} \, s \)

👉 (ii) जब \( k = 2 \, min^{-1} \)
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{2} \)
\( t_{1/2} = 0.347 \, min \)

👉 (iii) जब \( k = 4 \, year^{-1} \)
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{4} \)
\( t_{1/2} = 0.173 \, year \)

👉 ¹⁴C का क्षय प्रथम कोटि का होता है।
प्रथम कोटि के लिए वेग स्थिरांक:
\( k = \frac{0.693}{t_{1/2}} \)

👉 दी गई अर्धायु:
\( t_{1/2} = 5730 \, \text{वर्ष} \)

\( k = \frac{0.693}{5730} \)

👉 प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समय का सूत्र:
\( t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)

👉 यहाँ:
\( a = \) प्रारम्भिक ¹⁴C मात्रा = 100
\( (a - x) = \) शेष ¹⁴C मात्रा = 80

👉 मान रखने पर:
\( t = \frac{2.303 \times 5730}{0.693} \log \left( \frac{100}{80} \right) \)

👉 \( \log(100/80) = \log(1.25) \)

👉 गणना करने पर:
\( t = 1845 \, \text{वर्ष} \)

👉 प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समय का सूत्र:
\( t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)

👉 यहाँ अभिक्रियक की शेष मात्रा = \( a/16 \)
अर्थात्
\( \frac{a}{a - x} = 16 \)

👉 दिए गए मान:
\( k = 60 \, s^{-1} \)

👉 मान रखने पर:
\( t = \frac{2.303}{60} \log(16) \)

👉 \( \log 16 = 1.204 \)

👉 गणना करने पर:
\( t = 0.046 \, s \)

👉 रेडियोधर्मी क्षय प्रथम कोटि का होता है।

👉 दी गई अर्धायु:
\( t_{1/2} = 28.1 \, \text{वर्ष} \)

👉 वेग स्थिरांक:
\( k = \frac{0.693}{28.1} \, \text{वर्ष}^{-1} \)

👉 प्रथम कोटि के लिए समय का सूत्र:
\( t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)

जहाँ
\( a = \) प्रारम्भिक मात्रा = 1 μg
\( (a - x) = \) शेष मात्रा

(i) 10 वर्ष बाद
\( 10 = \frac{2.303 \times 28.1}{0.693} \log \left( \frac{1}{a - x} \right) \)

👉 गणना करने पर:
\( (a - x) = 0.7814 \, \mu g \)

(ii) 60 वर्ष बाद
\( 60 = \frac{2.303 \times 28.1}{0.693} \log \left( \frac{1}{a - x} \right) \)

👉 गणना करने पर:
\( (a - x) = 0.2278 \, \mu g \)

👉 प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समय का सूत्र होता है:
\( t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)

(i) 90% अभिक्रिया के लिए
👉 90% अभिक्रिया का अर्थ है कि 10% अभिकारक शेष है।
अतः \( a = 100 \)
\( (a - x) = 100 - 90 = 10 \)

\( t_{90} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)
\( t_{90} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{100}{10} \right) \)
\( t_{90} = \frac{2.303}{k} \log 10 \)
\( t_{90} = \frac{2.303}{k} \)

(ii) 99% अभिक्रिया के लिए
👉 99% अभिक्रिया का अर्थ है कि 1% अभिकारक शेष है।
अतः \( a = 100 \)
\( (a - x) = 100 - 99 = 1 \)

\( t_{99} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)
\( t_{99} = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{100}{1} \right) \)
\( t_{99} = \frac{2.303}{k} \log 100 \)
\( t_{99} = \frac{2.303}{k} \times 2 \)

तुलना (Comparison)
\( \frac{t_{99}}{t_{90}} = \frac{2.303}{k} \times 2 \times \frac{k}{2.303} \)
\( \frac{t_{99}}{t_{90}} = 2 \)

👉 अतः सिद्ध हुआ कि 99% अभिक्रिया के लिए लगा समय, 90% अभिक्रिया के समय का दुगुना होता है।

👉 प्रथम कोटि की अभिक्रिया के लिए समय का सूत्र होता है:
\( t = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{a}{a - x} \right) \)

👉 30% वियोजन का अर्थ है कि 70% अभिकारक शेष है।
\( a = 100 \)
\( (a - x) = 100 - 30 = 70 \)

👉 दिए गए मान:
t = 40 मिनट

\( 40 = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{100}{70} \right) \)
\( 40 = \frac{2.303}{k} \log \left( \frac{10}{7} \right) \)

👉 log value को हल करने पर:
\( \log \left( \frac{10}{7} \right) = \log 10 - \log 7 \)
\( \log 10 = 1,\ \log 7 = 0.845 \)
\( \log \left( \frac{10}{7} \right) = 1 - 0.845 = 0.155 \)

अब –
\( 40 = \frac{2.303 \times 0.155}{k} \)
\( k = \frac{2.303 \times 0.155}{40} \)
\( k = 0.00892 \, \text{min}^{-1} \)

👉 अब अर्धायु का सूत्र लगाते हैं:
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{k} \)
\( t_{1/2} = \frac{0.693}{0.00892 \, \text{min}^{-1}} \)
\( t_{1/2} = 77.7 \, \text{मिनट} \)

👉 Arrhenius समीकरण का logarithmic रूप:
\( \log k = \log A - \frac{E_a}{2.303 \, R T} \)

👉 दिए गए मान:
\( k = 2.418 \times 10^{-5} \, s^{-1} \)
\( E_a = 179.9 \, \text{kJ mol}^{-1} \)
\( R = 8.314 \times 10^{-3} \, \text{kJ K}^{-1} \text{mol}^{-1} \)
\( T = 546 \, K \)

👉 समीकरण को log A के लिए लिखते हैं:
\( \log A = \log k + \frac{E_a}{2.303 \, R T} \)

👉 मान रखने पर:
\( \log A = \log (2.418 \times 10^{-5}) + \frac{179.9}{2.303 \times 8.314 \times 10^{-3} \times 546} \)

Step 1: पहला log term solve करो
\( \log (2.418 \times 10^{-5}) = \log 2.418 + \log 10^{-5} \)
\( = 0.383 - 5 = -4.617 \)

Step 2: Denominator solve करो
\( 8.314 \times 10^{-3} \times 546 = 4.539 \)
\( 2.303 \times 4.539 = 10.456 \)

Step 3: Fraction का मान निकालो
\( \frac{179.9}{10.456} = 17.21 \)

Step 4: दोनों terms जोड़ो
\( \log A = -4.617 + 17.21 \)
\( \log A = 12.59 \)

Final Answer
👉 antilog लेने पर:
\( A = \text{antilog}(12.59) \)
👉 \( A = 3.9 \times 10^{12} \, s^{-1} \)

👉 यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।

👉 प्रथम कोटि के लिए सूत्र:
\( k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{a}{a-x} \right) \)

\( \log \left( \frac{a}{a-x} \right) = \frac{k \times t}{2.303} \)

Step 1: दिए गए मान
\( a = 1.0 \, \text{mol L}^{-1} \)
\( k = 2.0 \times 10^{-2} \, s^{-1} \)
\( t = 100 \, s \)

Step 2: RHS का मान निकालिए
\( \frac{k \times t}{2.303} = \frac{2.0 \times 10^{-2} \times 100}{2.303} \)
\( = \frac{2.0}{2.303} \)
\( = 0.868 \)

Step 3: log समीकरण लिखिए
\( \log \left( \frac{a}{a-x} \right) = 0.868 \)

Step 4: Antilog लें
\( \frac{a}{a-x} = \text{antilog}(0.868) \)
\( \frac{a}{a-x} = 7.38 \)

Step 5: शेष सांद्रता निकालिए
\( \frac{1.0}{1.0-x} = 7.38 \)
\( 1.0 - x = \frac{1}{7.38} \)
\( 1.0 - x = 0.135 \)

Final Answer
👉 100 s के बाद A की सांद्रता = 0.135 mol L⁻¹

👉 यह प्रथम कोटि की अभिक्रिया है।

👉 प्रथम कोटि के लिए:
\( k = \frac{0.693}{t_{1/2}} \)

Step 1: k निकालें
\( k = \frac{0.693}{3.0 \, h} \)
\( k = 0.231 \, h^{-1} \)

👉 प्रथम कोटि का सूत्र:
\( k = \frac{2.303}{t} \log \left( \frac{[R]_0}{[R]} \right) \)

Step 2: मान रखें
\( [R]_0 = \) प्रारम्भिक सुक्रोज
\( [R] = \) 8 घंटे बाद शेष सुक्रोज
\( t = 8 \, \text{घंटे} \)

\( \log \left( \frac{[R]_0}{[R]} \right) = \frac{0.231 \times 8}{2.303} \)
\( \log \left( \frac{[R]_0}{[R]} \right) = 0.802 \)

Step 3: Antilog लें
\( \frac{[R]_0}{[R]} = \text{Antilog}(0.802) \)
\( \frac{[R]_0}{[R]} = 6.35 \)

Step 4: शेष अंश निकालें
मान लें \( [R]_0 = 1 \)
\( [R] = \frac{1}{6.35} \)
\( [R] = 0.158 \)

👉 Arrhenius समीकरण का सामान्य रूप होता है:
\( k = A e^{-E_a/RT} \)

👉 दिए गए समीकरण से तुलना करने पर:
\( -\frac{E_a}{RT} = -\frac{28000 \, K}{T} \)

👉 दोनों तरफ से T कट जाएगा, अतः:
\( \frac{E_a}{R} = 28000 \, K \)

Step 1: Ea निकालने का सूत्र
\( E_a = 28000 K \times R \)

Step 2: R (8.314 J K⁻¹ mol⁻¹) का मान रखें
\( E_a = 28000 \times K \times 8.314 \, \text{J mol}^{-1} \)
\( E_a = 232792 \, \text{J mol}^{-1} \)

Step 3: इकाई को kJ mol⁻¹ में बदलें
\( E_a = 232.8 \, \text{kJ mol}^{-1} \)

👉 First order के लिए:
\(k=\frac{2.303}{t}\log\left(\frac{a}{a-x}\right)\)

Step 1: 10% और 25% completion के लिए \(\log\) वाले भाग लिखें
  10% पूर्ण \(\Rightarrow\) शेष = 90%
\(\frac{a}{a-x}=\frac{1}{0.90}\Rightarrow \log\left(\frac{1}{0.90}\right)\)

  25% पूर्ण \(\Rightarrow\) शेष = 75%
\(\frac{a}{a-x}=\frac{1}{0.75}\Rightarrow \log\left(\frac{1}{0.75}\right)\)

Step 2: समय बराबर है, इसलिए \(k\) का ratio बनेगा
क्योंकि \(t_{298}(10\%)=t_{308}(25\%)\), तो
\(\frac{k_{308}}{k_{298}}=\frac{\log\left(\frac{1}{0.75}\right)}{\log\left(\frac{1}{0.90}\right)}\approx \frac{\log(1.333)}{\log(1.111)}\approx 2.730\)

Step 3: अब Arrhenius ratio से \(E_a\) निकालें
\(\ln\left(\frac{k_{308}}{k_{298}}\right)=\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{298}-\frac{1}{308}\right)\)
\(\ln(2.730)\approx 1.004\)
\(E_a=(8.314)(1.004)\left(\frac{1}{298}-\frac{1}{308}\right)^{-1}\approx 7.665\times 10^{4}\,J\,mol^{-1}\)
\(\approx 76.7\,kJ\,mol^{-1}\)

Step 4: 318 K पर \(k\) निकालें (A दिया है)
\(k=Ae^{-\frac{E_a}{RT}}\)
\(k_{318}=4\times 10^{10}\exp\left(-\frac{76650}{(8.314)(318)}\right)\approx 1.03\times 10^{-2}\,s^{-1}\)

👉 Arrhenius (log form) का सूत्र:
\(\log_{10}\left(\frac{k_2}{k_1}\right)=\frac{E_a}{2.303\,R}\left(\frac{T_2-T_1}{T_1T_2}\right)\)

Step 1: दिए गए मान (Units सहित)
\(T_1=293\,K\)
\(T_2=313\,K\)
\(\frac{k_2}{k_1}=4\)
\(R=8.314\,J\,mol^{-1}\,K^{-1}\)

Step 2: \(E_a\) का सूत्र बनाएं
\(E_a=2.303\,R\left(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\right)\log_{10}\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\)

Step 3: \(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}\) निकालें
\(\frac{T_1T_2}{T_2-T_1}=\frac{(293)(313)}{313-293}=\frac{91709}{20}=4585.45\,K\)

Step 4: \(\log_{10}\left(\frac{k_2}{k_1}\right)\) निकालें
\(\log_{10}(4)=0.6021\)

Step 5: मान रखें और गणना करें
\(E_a=2.303\times 8.314\times 4585.45\times 0.6021=52863\,J\,mol^{-1}\)
\(E_a=52.8\,kJ\,mol^{-1}\)